Question

定義：只有一組對(duì)角是直角的四邊形叫做損矩形，連結(jié)它的兩個(gè)非直角頂點(diǎn)的線段叫做這個(gè)損矩形的直徑．
（1）如圖1，損矩形ABCD，∠ABC=∠ADC=90°，則該損矩形的直徑是線段

 

．
（2）在線段AC上確定一點(diǎn)P，使損矩形的四個(gè)頂點(diǎn)都在以P為圓心的同一圓上（即損矩形的四個(gè)頂點(diǎn)在同一個(gè)圓上），請(qǐng)作出這個(gè)圓，并說明你的理由．友情提醒：“尺規(guī)作圖”不要求寫作法，但要保留作圖痕跡．
（3）如圖2，△ABC中，∠ABC=90°，以AC為一邊向形外作菱形ACEF，D為菱形ACEF的對(duì)角線交點(diǎn)，連結(jié)BD，當(dāng)BD平分∠ABC時(shí)，則四邊形ACEF為

 

（填特殊的四邊形名稱）

Answer 1

考點(diǎn)：圓的綜合題

專題：

分析：（1）根據(jù)損矩形的直徑的定義即可證得；
（2）如圖1所示，通過尺規(guī)作圖即可求得圓P，由于△ABC和△ACD是直角三角形，根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等腰斜邊的一半，即可得到PA=PB=PC=PD，所以損矩形的四個(gè)頂點(diǎn)都在以P為圓心的同一圓上；
（3）先判定A、B、C、D共圓，再根據(jù)同弧所對(duì)的圓周角相等得出∠DAC=∠DBC，根據(jù)菱形的性質(zhì)則∠DAC=∠DAF，然后根據(jù)已知條件即可判斷∠FAC=∠ABC=90°，即菱形ABCD是正方形．

解答：解：（1）∵∠ABC=∠ADC=90°，
∴損矩形的直徑是AC；

（2）如圖1所示：

∵AP=CP，∠ABC=∠ADC=90°，
∴DP=BP=

1

2

AC，
∴PA=PB=PC=PD，
∴損矩形的四個(gè)頂點(diǎn)都在以P為圓心的同一圓上；

（3）如圖2，∵四邊形ACEF是菱形，
∴∠ADC=90°，∠DAC=∠DAF，
∵∠ABC=90°，
∴A、B、C、D共圓，
∴∠DAC=∠DBC，
∵∠ABD=∠DBC，
∴∠ABD+∠DBC=∠DAC+∠DAF，
即∠FAC=∠ABC=90°，
∴菱形ACEF是正方形．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了損矩形的直徑的概念，直角三角形斜邊中線的性質(zhì)，圓周角的性質(zhì)，菱形的性質(zhì)，正方形的判定以及尺規(guī)作圖等．