Question

如圖，在平面直角坐標中，以點C（0，4）為圓心，半徑為4的圓交y軸正半軸于點A，AB是⊙C的切線，動點P從點A開始沿AB方向以每秒1個單位長度的速度運動，點Q從O點出發(fā)開始沿x軸正方向以每秒4個單位長度的速度運動，且動點P、Q同時出發(fā)，設運動時間為t（秒）
（1）當t=1時，A、P、Q三點恰好在某拋物線上，求這條拋物線的解析式；
（2）當t為何值時，直線PQ與⊙C相切？并寫出此時點P和點Q的坐標；
（3）在（2）的條件下，在y軸上能否找到一點M，使△PMQ的周長最小，若能求出點M的坐標，并求出周長的最小值；若不能，請說明理由．

Answer 1

考點：二次函數(shù)綜合題,待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式,待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式,線段的性質：兩點之間線段最短,平行線的性質,勾股定理,切線的性質,相似三角形的判定與性質

專題：綜合題

分析：（1）當t=1時可得到點A、P、Q的坐標，然后用待定系數(shù)法就可求出拋物線的解析式．
（2）設PQ與⊙C切于點E，如圖1，利用切線長定理和平行線的性質可以得到PE=t，QE=4t，△PEC∽△CEQ，然后利用相似三角形的性質就可解決問題．
（3）運用勾股定理可以求出PQ及P′Q的長，根據(jù)“兩點之間線段最短”就可求出△PMQ的周長最小值及對應的點M的值．

解答：解：（1）當t=1時，A（0，8），P（1，8），Q（4，0），
設經(jīng)過點A、P、Q的拋物線的解析式為y=ax²+bx+8．
則有

a+b+8=8 16a+4b+8=0

．
解得：

a=- 2 3 b= 2 3

．
∴經(jīng)過點A、P、Q的拋物線的解析式為y=-

2

3

x²+

2

3

x+8．

（2）設PQ與⊙C切于點E，如圖1，
則CE⊥PQ，CE=4．
∵PA、PQ與⊙C分別相切于點A、E，
∴PE=PA=t，∠APC=∠EPC．
同理可得：QE=QO=4t，∠OQC=∠EQC．
∵AP∥OQ，
∴∠APQ+∠OQP=180°．
∴2∠EPC+2∠EQC=180°．
∴∠EPC+∠EQC=90°．
∵CE⊥PQ，即∠PEC=∠CEQ=90°
∴∠EPC+∠PCE=90°．
∴∠PCE=∠EQC．
∴△PEC∽△CEQ．
∴

CE

EQ

=

PE

CE

．
∴

4

4t

=

t

4

．
∴t₁=2，t₂=-2（舍去）．
∴當t=2秒時，直線PQ與⊙C相切，此時點P的坐標為（2，8）、點Q的坐標為（8，0）．

（3）作點P關于y軸的對稱點P′，連接P′M、P′Q，
過點Q作QH⊥AB，垂足為H，如圖2，
則有點P（2，8）、點P′（-2，8）、點Q（8，0），MP′=MP．
設直線P′Q的解析式為y=mx+n，
則有

-2m+n=8 8m+n=0

．
解得：

m=- 4 5 n= 32 5

．
∴直線P′Q的解析式為y=-

4

5

x+

32

5

．
在Rt△PHQ中，
∵PH=8-2=6，QH=8，
∴PQ=

PH2+QH2

=10．
在Rt△P′HQ中，
∵P′H=8-（-2）=10，QH=8，
∴P′Q=

P′H2+QH2

=

164

=2

41

．
∴△PMQ的周長=PM+MQ+PQ
=P′M+MQ+10≥P′Q+10=2

41

+10．
根據(jù)“兩點之間線段最短”可得；
當P′、M、Q共線時，△PMQ的周長取到最小值，最小值為2

41

+10．
此時點M是直線P′Q與y軸的交點，M的坐標為（0，

32

5

）．

點評：本題考查了用待定系數(shù)法求二次函數(shù)及一次函數(shù)的解析式、相似三角形的判定與性質、切線的性質、平行線的性質、勾股定理、兩點之間線段最短、關于y軸對稱的點的坐標特征等知識，有一定綜合性．