Question

如圖，在平面直角坐標系xOy中，直線y=x+4與坐標軸分別交于A、B兩點，過A、B兩點的拋物線為y=﹣x²+bx+c．點D為線段AB上一動點，過點D作CD⊥x軸于點C，交拋物線于點E．

（1）求拋物線的解析式．

（2）當DE=4時，求四邊形CAEB的面積．

（3）連接BE，是否存在點D，使得△DBE和△DAC相似？若存在，求此點D坐標；若不存在，說明理由．

Answer 1

考點：

二次函數(shù)綜合題．

分析：

（1）首先求出點A、B的坐標，然后利用待定系數(shù)法求出拋物線的解析式；

（2）設(shè)點C坐標為（m，0）（m＜0），根據(jù)已知條件求出點E坐標為（m，8+m）；由于點E在拋物線上，則可以列出方程求出m的值．在計算四邊形CAEB面積時，利用S_{四邊形CAEB}=S_△ACE+S_梯形OCEB﹣S_△BCO，可以簡化計算；

（3）由于△ACD為等腰直角三角形，而△DBE和△DAC相似，則△DBE必為等腰直角三角形．分兩種情況討論，要點是求出點E的坐標，由于點E在拋物線上，則可以由此列出方程求出未知數(shù)．

解答：

解：（1）在直線解析式y(tǒng)=x+4中，令x=0，得y=4；令y=0，得x=﹣4，

∴A（﹣4，0），B（0，4）．

∵點A（﹣4，0），B（0，4）在拋物線y=﹣x²+bx+c上，

∴，

解得：b=﹣3，c=4，

∴拋物線的解析式為：y=﹣x²﹣3x+4．

（2）設(shè)點C坐標為（m，0）（m＜0），則OC=﹣m，AC=4+m．

∵OA=OB=4，∴∠BAC=45°，

∴△ACD為等腰直角三角形，∴CD=AC=4+m，

∴CE=CD+DE=4+m+4=8+m，

∴點E坐標為（m，8+m）．

∵點E在拋物線y=﹣x²﹣3x+4上，

∴8+m=﹣m²﹣3m+4，解得m=﹣2．

∴C（﹣2，0），AC=OC=2，CE=6，

S_{四邊形CAEB}=S_△ACE+S_梯形OCEB﹣S_△BCO=×2×6+（6+4）×2﹣×2×4=12．

（3）設(shè)點C坐標為（m，0）（m＜0），則OC=﹣m，CD=AC=4+m，BD=OC=﹣m，則D（m，4+m）．

∵△ACD為等腰直角三角形，△DBE和△DAC相似

∴△DBE必為等腰直角三角形．

i）若∠BED=90°，則BE=DE，

∵BE=OC=﹣m，

∴DE=BE=﹣m，

∴CE=4+m﹣m=4，

∴E（m，4）．

∵點E在拋物線y=﹣x²﹣3x+4上，

∴4=﹣m²﹣3m+4，解得m=0（不合題意，舍去）或m=﹣3，

∴D（﹣3，1）；

ii）若∠EBD=90°，則BE=BD=﹣m，

在等腰直角三角形EBD中，DE=BD=﹣2m，

∴CE=4+m﹣2m=4﹣m，

∴E（m，4﹣m）．

∵點E在拋物線y=﹣x²﹣3x+4上，

∴4﹣m=﹣m²﹣3m+4，解得m=0（不合題意，舍去）或m=﹣2，

∴D（﹣2，2）．

綜上所述，存在點D，使得△DBE和△DAC相似，點D的坐標為（﹣3，1）或（﹣2，2）．

點評：

本題考查了二次函數(shù)與一次函數(shù)的圖象與性質(zhì)、函數(shù)圖象上點的坐標特征、待定系數(shù)法、相似三角形、等腰直角三角形、圖象面積計算等重要知識點．第（3）問需要分類討論，這是本題的難點．