Question

已知點(diǎn)B是正△ACD內(nèi)部一點(diǎn)，AB=3，BD=4，BC=5，求正△ACD面積．

Answer 1

考點(diǎn)：旋轉(zhuǎn)的性質(zhì),等邊三角形的性質(zhì),勾股定理的逆定理

專(zhuān)題：計(jì)算題

分析：先根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得DA=DC，∠ADC=60°，則可把△DCB繞點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到△DAE，如圖，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得DE=DB=4，AE=CB=5，∠EDB=60°，于是可判斷△DBE為等邊三角形，所以BE=DB=4，∠DBE=60°，在△ABE中，由于AB²+BE²=AE²，根據(jù)勾股定理的逆定理得△ABE為直角三角形，則∠ABE=90°，于是得到∠ABD=∠ABE+∠DBE=150°，利用鄰補(bǔ)角定義得到∠DBH=30°；作DH⊥AB于H，根據(jù)含30度的直角三角形三邊的關(guān)系，在Rt△BDH中，DH=

1

2

BD=2，BH=

3

DH=2

3

，則AH=3+2

3

，然后在Rt△ADH中，利用勾股定理計(jì)算出AD²=25+12

3

，再利用等邊三角形的面積公式求解．

解答：解：∵△ACD為等邊三角形，
∴DA=DC，∠ADC=60°，
∴把△DCB繞點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到△DAE，如圖，連結(jié)BE，
∴DE=DB=4，AE=CB=5，∠EDB=60°，
∴△DBE為等邊三角形，
∴BE=DB=4，∠DBE=60°，
在△ABE中，AB=3，BE=4，AE=5，
∵3²+4²=5²，
∴AB²+BE²=AE²，
∴△ABE為直角三角形，
∴∠ABE=90°，
∴∠ABD=∠ABE+∠DBE=150°，
∴∠DBH=30°，
作DH⊥AB于H，如圖，
在Rt△BDH中，DH=

1

2

BD=2，BH=

3

DH=2

3

，則AH=3+2

3

，
在Rt△ADH中，AD²=AH²+DH²=（3+2

3

）²+2²=25+12

3

，
∴正△ACD面積=

3

4

AD²=

3

4

（25+12

3

）=

25 3 +36

4

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：對(duì)應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等；對(duì)應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心所連線(xiàn)段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角；旋轉(zhuǎn)前、后的圖形全等．也考查了等邊三角形的性質(zhì)和勾股定理的逆定理．