Question

如圖，在△ABC中，已知AB=AC=5，BC=6，△ABC按一定速度沿BC向右平移，平移后的三角形記為△DEF，平移距離不超過(guò)6（如圖1），每到一個(gè)位置，都將△DEF繞E旋轉(zhuǎn)，使DE始終經(jīng)過(guò)點(diǎn)A，EF與AC交于點(diǎn)M（如圖2）．

（1）求證：△ABE∽△ECM；
（2）若△AEM為等腰三角形，求△ABC平移的距離；
（3）在平移和旋轉(zhuǎn)的過(guò)程中，當(dāng)線段AM最短時(shí)，求△AEM的面積．

Answer 1

考點(diǎn)：相似形綜合題

專題：壓軸題

分析：（1）根據(jù)等邊對(duì)等角可得∠B=∠C，再根據(jù)三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和可得∠B+∠BAE=∠DEF+∠CEM，根據(jù)平移和旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得∠B=∠DEF，從而得到∠BAE=∠CEM，再根據(jù)兩組角對(duì)應(yīng)相等兩三角形相似證明即可；
（2）分①AE=ME時(shí)，利用“角角邊”證明△ABE和△ECM全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得EC=AB，然后求出BE，②AM=ME時(shí)，根據(jù)等邊對(duì)等角可得∠AEM=∠EAM，然后求出△ABC和△MAE相似，根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例求出

ME

AE

，再根據(jù)△ABE和△ECM相似，利用相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例列式求出CE的長(zhǎng)度，然后根據(jù)BC=6求出BE的長(zhǎng)，③AE=AM時(shí)，求出點(diǎn)M、C重合，沒(méi)有開(kāi)始平移；
（3）根據(jù)垂線段最短，AE⊥BC時(shí)，AM⊥EF，此時(shí)AM最短，根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)求出EC=

1

2

BC，再利用勾股定理列式求出AE，然后根據(jù)△AME和△AEC相似，利用相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例列式求出AM、EM，再根據(jù)三角形的面積公式列式計(jì)算即可得解．

解答：（1）證明：∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
由三角形的外角性質(zhì)，∠B+∠BAE=∠DEF+∠CEM，
∵△ABC平移后的三角形記為△DEF，
∴∠B=∠DEF，
∴∠BAE=∠CEM，
∴△ABE∽△ECM；

（2）解：△AEM為等腰三角形，分三種情況討論：
①如圖1，AE=ME時(shí)，
在△ABE和△ECM中，

∠B=∠DEF ∠B=∠C AE=AM

，
∴△ABE≌△ECM（AAS），
∴EC=AB=5，
∴平移距離BE=BC-EC=6-5=1；

②如圖2，AM=ME時(shí)，則∠AEM=∠EAM，
∵∠C=∠B=∠AEM，
∴∠B=∠AEM=∠C=∠EAM，
∴△ABC∽△MAE，
∴

ME

AB

=

AE

BC

，
∴

ME

AE

=

AB

BC

=

5

6

，
∵△ABE∽△ECM，
∴

ME

AE

=

CE

AB

，
即

5

6

=

CE

5

，
解得CE=

25

6

，
∴平移距離BE=BC-CE=6-

25

6

=

11

6

；
③AE=AM時(shí)，則∠AEM=∠AME，
∵∠AEM=∠B=∠C，
∴∠AME=∠C，
∴點(diǎn)M、C重合，沒(méi)有開(kāi)始平移；
綜上所述，△AEM為等腰三角形，△ABC平移的距離為1或

11

6

；

（3）解：根據(jù)垂線段最短，AE⊥BC時(shí)，AM⊥EF，此時(shí)AM最短，
∵AB=AC=5，BC=6，
∴CE=

1

2

BC=

1

2

×6=3，
AE=

AC2-CE2

=

52-32

=4，
∵∠EAM=∠CAE，
∠AME=∠AEC=90°，
∴△AME∽△AEC，
∴

AM

AE

=

EM

CE

=

AE

AC

，
即

AM

4

=

EM

3

=

4

5

，
解得AM=

16

5

，EM=

12

5

，
∴△AEM的面積=

1

2

AM•EM=

1

2

×

16

5

×

12

5

=

96

25

．

點(diǎn)評(píng)：本題是相似形綜合題，主要利用了等邊對(duì)等角的性質(zhì)，三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和的性質(zhì)，等腰三角形兩腰相等的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，（2）難點(diǎn)在于要分情況討論，（3）根據(jù)垂線段最短判斷出AM最短時(shí)的情況是解題的關(guān)鍵．