Question

Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD為高線，點(diǎn)E在邊BC上，且BE=2EC，連接AE，EF⊥AE，與邊AB相交于點(diǎn)F．
（1）如圖1，當(dāng)tan∠BAC=1時(shí)，求證：EF=2EG
（2）如圖2，當(dāng)tan∠BAC=2時(shí)，則線段EF、EG的數(shù)量關(guān)系為______；
（3）如圖3，在（2）的條件下，將∠FEG繞點(diǎn)E順時(shí)針旋轉(zhuǎn)α，旋轉(zhuǎn)后EF邊所在的直線與邊AB相交于點(diǎn)F′，EG邊所在的直線與邊AC相交于點(diǎn)H，與高線CD相交于點(diǎn)G′，若AH=3，且=，求線段G′H的長．

Answer 1

（1）證明：在R_t△ABC中，tan∠BAC=1=tan45°，
∴∠BAC=45°，
∵∠ACB=90°，
∴∠ABC=45°．
∴△ABC為等腰直角三角形，
∵CD⊥AB，
∴∠BCD=45°，
過E點(diǎn)作EK⊥BC，EK與CD相交于點(diǎn)K，
∴∠GKE=45°=∠B
∵∠GEK+∠KEF=90°=∠KEF+∠BEF，
∴∠GEK=∠FEB，
∴△GEK∽△FEB，
∴，
∴EF=2EG；
（2）根據(jù)（1）的證明，同理可證：
當(dāng)tan∠BAC=2時(shí)，EF=EG；
（3）在R_t△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，
則tan∠BAC=tan∠CAD=tan∠BCD=2，
設(shè)AC=3k，則，
過點(diǎn)E作EM⊥BC，EM與CD的延長線相交于點(diǎn)M，tan∠ECM=2，
∴EM=4k．
在△AGC與△EGM中，
∵AC∥EM，
∴∠ACG=∠M．∠AGC=∠EGM，
∴△AGC∽△EGM
∴
過點(diǎn)G作GN∥EH，與AH相交于點(diǎn)N，
∴△ANG∽△AHE，
∴=，
∴，∴
∠GEM+∠MEF=90°=∠MEF+∠FEB，
∴∠GEM=∠FEB，
∠M=∠B，
∴△GEM∽△FEB，
∴，
∴EF=EG．
同理可證EF′=EG′．∠FEF'=∠GEG'，
∴△GEG'≌△FEF'，
∴FF'=GG'，
∴．
HG′∥NG，同理可證，
∴，
∴，
∴，
∴
∴△HCE是等腰直角三角形，∠CHE=45°，
在△HG'C中，過點(diǎn)G'作G'W⊥CH，垂足是W，
設(shè)G'W=x，則，
∴CW=2x，CW+HW=CH，
∴，
∴，
∴．
分析：（1）根據(jù)tan∠BAC=1=tan45°，得出△ABC為等腰直角三角形，再過E點(diǎn)作EK⊥BC，EK與CD相交于點(diǎn)K，得出∠GKE=45°=∠B，再根據(jù)∠GEK+∠KEF=90°=∠KEF+∠BEF，得出△GEK∽△FEB，從而證出，即可得出EF=2EG；
（2）根據(jù)（1）的證明過程，同理可證出當(dāng)tan∠BAC=2時(shí)，得出EF=EG；
（3）根據(jù)（2）的結(jié)論，先設(shè)AC=3k，得出，再過點(diǎn)E作EM⊥BC，EM與CD的延長線相交于點(diǎn)M，得出△AGC∽△EGM，得出，再過點(diǎn)G作GN∥EH，與AH相交于點(diǎn)N，得出△ANG∽△AHE，得出NH的值，同理得出△GEM∽△FEB，得出EF=EG．同理可證EF′=EG′，∠FEF'=∠GEG'，得出△GEG'≌△FEF'，即可證出的值，再根據(jù)HG′∥NG，同理可證，得出EC=CH，得出△HCE是等腰直角三角形，在△HG'C中，求出CW的值，從而得出G′H 的值．
點(diǎn)評：此題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)；解決本題的關(guān)鍵是根據(jù)直角三角形的性質(zhì)以及相似三角形的性質(zhì)得到它們的比值進(jìn)行計(jì)算即可．