Question

如圖，已知⊙O的直徑AB垂直弦CD于點E，過C點作⊙O的切線CG交AB延長線于點G，連接CO并延長交AD于點F，且AF=FD．
（1）求證：CG∥AD；
（2）求證：E是OB的中點；
（3）若AB=8，陰影部分的面積．

Answer 1

考點：切線的性質,扇形面積的計算

專題：

分析：（1）首先連接OD，由CG是切線，易得CG⊥CO，又由OA=OD，AF=FD，根據(jù)三線合一的性質可得：CF⊥AD，則可得CG∥AD；
（2）首先連接AC，⊙O的直徑AB垂直弦CD于點E，易得AC=AD，同理AC=CD，則可得△ACD是等邊三角形，繼而可得E是OB的中點；
（3）首先由在Rt△OCE中，CE²=OC²-OE²，求得CE的長，即可求得△OCE與扇形BOC的面積，繼而求得答案．

解答：（1）證明：連接OD．
∵CG是切線，
∴CG⊥CO，
∵OA=OD，AF=FD，
∴CF⊥AD，
∴CG∥AD；

（2）證明：連接AC，
∵AB⊥CD，
∴

AC

=

AD

，
∴AC=AD，
同理：AC=CD，
∴△ACD是等邊三角形，
∴∠FCD=30°，
∴OE=

1

2

OC=

1

2

OB，
∴E是OB的中點；

（3）解：∵AB=8，
∴OC=4，OE=2，
在Rt△OCE中，CE²=OC²-OE²，
∴CE=2

3

，
∴S_△OCE=

1

2

×2×2

3

=2

3

，
∴S_扇形BOC=

8π

3

，
∴S陰影=

8π

3

-2

3

．

點評：此題考查了切線的性質、等邊三角形的判定與性質、等腰三角形的性質以及扇形的面積．此題難度適中，注意掌握輔助線的作法，注意掌握數(shù)形結合思想的應用．