Question

如圖，A為⊙O外一點(diǎn)，AB切⊙O于點(diǎn)B，AO交⊙O于C，CD⊥OB于E，交⊙O于點(diǎn)D，連接OD．若AB=12，AC=8．
（1）求OD的長；
（2）求CD的長．

Answer 1

考點(diǎn)：切線的性質(zhì),勾股定理,相似三角形的性質(zhì)

專題：幾何圖形問題

分析：（1）設(shè)⊙O的半徑為R，根據(jù)切線定理得OB⊥AB，則在Rt△ABO中，利用勾股定理得到R²+12²=（R+8）²，解得R=5，即OD的長為5；
（2）根據(jù)垂徑定理由CD⊥OB得DE=CE，再證明△OEC∽△OBA，利用相似比可計算出CE=

60

13

，所以CD=2CE=

120

13

．

解答：解：（1）設(shè)⊙O的半徑為R，
∵AB切⊙O于點(diǎn)B，
∴OB⊥AB，
在Rt△ABO中，OB=R，AO=OC+AC=R+8，AB=12，
∵OB²+AB²=OA²，
∴R²+12²=（R+8）²，
解得R=5，
∴OD的長為5；

（2）∵CD⊥OB，
∴DE=CE，
而OB⊥AB，
∴CE∥AB，
∴△OEC∽△OBA，
∴

CE

AB

=

OC

OA

，
即

CE

12

=

5

5+8

，
∴CE=

60

13

，
∴CD=2CE=

120

13

．

點(diǎn)評：本題考查了切線的性質(zhì)：圓的切線垂直于經(jīng)過切點(diǎn)的半徑．也考查了勾股定理、垂徑定理和相似三角形的判定與性質(zhì)．