Question

如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，BF平分∠ABC，CD⊥AB于點(diǎn)D，與BF交于點(diǎn)G，GE∥AC．求證：CE與FG互相垂直平分．

Answer 1

考點(diǎn)：菱形的判定與性質(zhì)

專(zhuān)題：證明題

分析：延長(zhǎng)EG交BC于點(diǎn)K．由角平分線(xiàn)的性質(zhì)可得∠GBK=∠GBD，GK=GD，由全等三角形的判定定理可知△GBK≌△GBD，△CBD≌△EBK，由平行四邊形的判定定理可知FCGE為平行四邊形，根據(jù)CG=GE即平行四邊形的鄰邊相等可知此四邊形是菱形，由菱形的對(duì)角線(xiàn)互相垂直平分即可求解．

解答：證明：延長(zhǎng)EG交BC于點(diǎn)K．
∵GE∥AC，∠ACB=90°，
∴∠BKE=∠ACB=90°，即EK⊥BC．
又∵CD⊥AB，BF平分∠ABC，
∴GK=GD．
在Rt△GKB與Rt△GDB中，

GK=GD BG=BG

，
∴Rt△GKB≌Rt△GDB（HL），
∴DB=BK．
在△CBD與△EBK中，

∠CBD=∠EBK BD=BK ∠CDB=∠EKB

，
∴△CBD≌△EBK（ASA），
∴BC=BE，
∴BF垂直平分CE（三合一）．
∴CO=EO，
在△COF與△EOG中，

∠FCO=∠GEO CO=EO ∠COF=∠OG

，
∴△COF≌△EOG（ASA）
∴FC=GE，
又∵GE∥AC．
∴四邊形FCGE為平行四邊形，
∵CG=GE，
∴四邊形FCGE為菱形，
∴CE與GF互相垂直平分．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的是角平分線(xiàn)的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、平行四邊形及菱形的判定與性質(zhì)，涉及面較廣，難度適中．