取一張矩形的紙,按如下操作過程折疊:
第一步:將矩形ABCD沿MN對折,如圖1;第二步:把B點疊在折痕MN上,新折痕為AE,點B在MN上的對應點為B′,如圖2;第三步:展開,得到圖3.
(1)你認為∠BAE的度數(shù)為______;
(2)利用圖3試證明(1)的結論.

【答案】分析:(1)可先猜測三個角相等,且和為90°,那么每個角是30°;
(2)先過點B′作B′F⊥AD于F,矩形ABCD關于MN對折,所以有AM=BM=AB,∠AMB′=90°,所以四邊形AMB′F是矩形,又△ABE關于AE對折得到△AB′E,所以AB=AB′,BE=B′E,且∠BAE=∠B′AE,所以就有B′F=AB′,可求出∠B′AF=30°,所以∠BAE=30°.
解答:(1)解:易得△B′MA為直角三角形,那么AM等于AB′的一半,即可得到∠MB′A=30°,
利用三角形內角和定理可得∠MAB′=60°,那么∠BAE等于∠MAB′的一半,為30°;(3分)

(2)證明:過點B′作B′F⊥AD于F,(4分)

∵矩形ABCD沿MN對折,
∴MA=MB=,∠AMB′=90°,(5分)
又∵∠MAF=∠B′FA=90°,
∴四邊形AFB′M是矩形,
∴B′F=AM,(6分)
∵AB=AB′,
∴B′F=,(8分)
∴∠B′AF=30°,
∴∠BAB′=60°,(9分)
又∵∠ABE=EAB′,
∴∠BAE=30°.(10分)
點評:本題綜合考查了對折后得到的兩個圖形全等,如果直角三角形中一條直角邊等于斜邊的一半,那么這個直角邊所對的角是30°等知識.
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第一步:將矩形ABCD沿MN對折,如圖1;第二步:把B點疊在折痕MN上,新折痕為AE,點B在MN上的對應點為B′,如圖2;第三步:展開,得到圖3.
(1)你認為∠BAE的度數(shù)為
 
;
(2)利用圖3試證明(1)的結論.
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