Question

如圖，梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，AD=6，AB=8，BC=10，直線EF從AD出發(fā)，以每秒1個(gè)單位的速度向BC運(yùn)動(dòng)，并始終保持與AD平行，交AB于點(diǎn)E，交DC于點(diǎn)F，同時(shí)點(diǎn)P從點(diǎn)C出發(fā)，沿CB方向以每秒2個(gè)單位的速度向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)．當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，直線EF也隨之停止運(yùn)動(dòng)；連接PE，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒（0≤t≤5），解答以下問(wèn)題：
（1）當(dāng)t為何值時(shí)，△BEP是等腰直角三角形？
（2）是否存在某一時(shí)刻t，使PE∥CD？
（3）連接PF，設(shè)△PEF的面積為S，求出S與t之間的函數(shù)關(guān)系式；
（4）是否存在某一時(shí)刻t，使△PEF的面積是梯形面積的

1

4

？若存在，求出t的值；若不存在，說(shuō)明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：四邊形綜合題

專題：綜合題

分析：（1）根據(jù)題意得到AE=t，PC=2t，BE=AB-AE=8-t，BP=BC-PC=10-2t，由于∠B=90°，根據(jù)等腰三角形的判定，當(dāng)BE=BP時(shí)，△BEP是等腰直角三角形，則有8-t=10-2t，然后解方程求出t的值；
（2）作DH⊥BC于H，交EF于G，如圖，先根據(jù)矩形的性質(zhì)得DG=AE=t，EG=BH=AD=6，DH=AB=8，則CH=BC-BH=4，再證明△DGF∽△DHC，利用相似比得到∴GF=

1

2

t，則EF=6+

1

2

t，根據(jù)平行四邊形的判定，由于EF∥PC，則當(dāng)EF=PC時(shí)，四邊形EPCF為平行四邊形，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)有PE∥CD，所以得到6+

1

2

t=2t，然后解方程求出t的值；
（3）由（2）得到EF=6+

1

2

t，BE=8-t，然后根據(jù)三角形面積公式求解；
（4）當(dāng)△PEF的面積是梯形面積的

1

4

時(shí)，根據(jù)（3）的結(jié)論得到-

1

4

t²-t+24=

1

4

×

1

2

×（6+10）×8，然后解一元二次方程即可得到滿足條件的t的值．

解答：解：（1）∵AE=t，PC=2t，
∴BE=AB-AE=8-t，BP=BC-PC=10-2t，
當(dāng)BE=BP時(shí)，△BEP是等腰直角三角形，則8-t=10-2t，解得t=2，
即當(dāng)t=2時(shí)，△BEP是等腰直角三角；
（2）存在．
作DH⊥BC于H，交EF于G，如圖，則DG=AE=t，EG=BH=AD=6，DH=AB=8，
所以CH=BC-BH=4，
∵GF∥BC，
∴△DGF∽△DHC，
∴

GF

HC

=

DG

DH

，即

GF

4

=

t

8

，
∴GF=

1

2

t，
∴EF=EG+GF=6+

1

2

t，
∵EF∥PC，
∴當(dāng)EF=PC時(shí)，四邊形EPCF為平行四邊形，則有PE∥CD，
即6+

1

2

t=2t，解得t=4，
即當(dāng)t=4時(shí)，使PE∥CD；
（3）∵EF=6+

1

2

t，BE=8-t，
∴S=

1

2

•（6+

1

2

t）（8-t）
=-

1

4

t²-t+24（0≤t≤5）；
（4）存在．
當(dāng)△PEF的面積是梯形面積的

1

4

時(shí)，則-

1

4

t²-t+24=

1

4

×

1

2

×（6+10）×8，
整理得t²+4t-32=0，
解得t₁=4，t₂=-8（舍去），
所以存在t=4，使△PEF的面積是梯形面積的

1

4

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了四邊形的綜合題：熟練掌握梯形的性質(zhì)、等腰直角三角形的判定和平行四邊形的判定與性質(zhì)；會(huì)利用相似比和三角形面積公式進(jìn)行計(jì)算．