Question

【題目】已知拋物線y=ax2+bx+c與y軸交于點(diǎn)C，與x軸交于點(diǎn)A(x1，0)、B(x2,0)(x1<x2),頂點(diǎn)M的縱坐標(biāo)為-4，若x1、x2是方程x2-2(m-1)x+m2-7=0的兩個根，且x12+x22=10.

①求A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)；

②求拋物線的關(guān)系式及點(diǎn)C的坐標(biāo)；

③在拋物線上是否存在點(diǎn)P，使△ABP的面積等于四邊形ACMB面積的2倍？若存在，求出所有符合條件的點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】①A(-1，0)、B(3,0)；②y=x2-2x-3,C(0，-3)；③存在，P1(1+,9),P2(1-,9)

【解析】試題分析： 根據(jù)韋達(dá)定理可得出兩點(diǎn)橫坐標(biāo)的和與積，聯(lián)立 可求出的值，進(jìn)而可求出的坐標(biāo)．
根據(jù)的坐標(biāo)，可得出拋物線的對稱軸的解析式，即可求出其頂點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)得出的 三點(diǎn)的坐標(biāo)，即可用待定系數(shù)法求出拋物線的解析式．
可先求出四邊形的面積（由于四邊形不規(guī)則，因此其面積可用分割法進(jìn)行求解）．然后根據(jù)的面求出點(diǎn)的縱坐標(biāo)的絕對值，將其代入拋物線的解析式中即可求出點(diǎn)的坐標(biāo)．

試題解析： ∵若是方程的兩個實(shí)數(shù)根，

由題意得：

∴

化簡,得

解得

且當(dāng)時, ，符合題意.

∴原方程可寫成：

已知：

∴拋物線的對稱軸為

因此拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為

設(shè)拋物線的解析式為 則有：

= + +

假設(shè)存在使得

即：

當(dāng)時, 解得

當(dāng)時, 此方程無實(shí)數(shù)根.

∴存在符合條件的點(diǎn),且坐標(biāo)為