Question

在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=ax²-6x+c經(jīng)過點(diǎn)（0，10）和點(diǎn)（3，1）．
（1）求這條拋物線的函數(shù)表達(dá)式，并求出它的對稱軸；
（2）如圖，△ABC的頂點(diǎn)B在拋物線y=ax²-6x+c上，頂點(diǎn)C在y軸上，頂點(diǎn)A在x軸上，且BC=1，∠ABC=90°，求AC的長；
（3）△ABC的頂點(diǎn)B沿拋物線y=ax²-6x+c移動，移動過程中，邊BC與x軸保持平行，當(dāng)△ABC被x軸分成上下兩部分的面積比為3：1時(shí)，求點(diǎn)C的坐標(biāo)．

Answer 1

解：（1）由題意，得
，
解得：，
∴拋物線的解析式為：y=x²-6x+10
∴y=（x-3）²+1
∴拋物線的對稱軸是：x=3．

（2）∵BC=1，∠ABC=90°，
∴B點(diǎn)的橫坐標(biāo)為1，
∴y=1-6+10=5，
∴AB=5，在Rt△ABC中，由勾股定理，得AC=；

（3）∵△A′B′C′是由△ABC平移得到的，
∴△A′B′C′≌△ABC，
∴A′B′=AB=5．
∵S_{四邊形EFB′C′}：S_△EFA′=3：1，
∴S_{△A′B′C′}：S_△EFA′=4：1，
∵BC與x軸保持平行，
∴△A′B′C∽△EFA
∴=2，
∴A′F=，
∴B′F=，
∴=x²-6x+10，
∴x₁=，x₂=，
故C（，）或（，）．

分析：（1）將點(diǎn)（0，10）和點(diǎn)（3，1）代入解析式就可以求出拋物線的解析式，然后將解析式化為頂點(diǎn)式就可以求出對稱軸．
（2）由BC=1，∠ABC=90°，就可以求得B點(diǎn)的橫坐標(biāo)，將點(diǎn)B的橫坐標(biāo)代入解析式就可以求出B點(diǎn)的縱坐標(biāo)從而求出AB的值，再由勾股定理就可以求出AC的值．
（3）如圖，當(dāng)△ABC移到△A′B′C′的位置時(shí)，S_{四邊形EFB′C′}：S_△EFA′=3：1，有S_{△A′B′C′}：S_△EFA′=4：1，由相似三角形的性質(zhì)可以求出B′F，求得B′的縱坐標(biāo)，代入拋物線的解析式就可以求出B′的橫坐標(biāo)，從而求得C′的坐標(biāo)．
點(diǎn)評：本題是一道二次函數(shù)的綜合試題，考查了待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式，勾股定理的運(yùn)用，二次函數(shù)圖象與幾何變換，平移的性質(zhì)及運(yùn)用，相似三角形的性質(zhì)．