Question

【題目】在中，，．點(diǎn)是平面內(nèi)不與點(diǎn)，重合的任意一點(diǎn)．連接，將線段繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到線段，連接，，．

（1）觀察猜想

如圖1，當(dāng)時(shí)，的值是______，直線與直線相交所成的較小角的度數(shù)是____________．（提示：求角度時(shí)可考慮延長(zhǎng)交的延長(zhǎng)線于）

（2）類比探究

如圖2，當(dāng)時(shí)，請(qǐng)寫出的值及直線與直線相交所成的小角的度數(shù)，并就圖2的情形說(shuō)明理由．

（3）解決問(wèn)題

當(dāng)時(shí)，若點(diǎn)，分別是，的中點(diǎn)，點(diǎn)在直線上，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)，，在同一直線上時(shí)的值_______________．

Answer 1

【答案】（1），；（2），理由見(jiàn)解析；（3），

【解析】

（1）如圖1中，延長(zhǎng)CP交BD的延長(zhǎng)線于E，設(shè)AB交EC于點(diǎn)O．證明△CAP≌△BAD（SAS），即可解決問(wèn)題．

（2）如圖2中，設(shè)BD交AC于點(diǎn)O，BD交PC于點(diǎn)E．證明△DAB∽△PAC，即可解決問(wèn)題．

（3）分兩種情形：①如圖3﹣1中，當(dāng)點(diǎn)D在線段PC上時(shí)，延長(zhǎng)AD交BC的延長(zhǎng)線于H．利用直角三角形斜邊上的中線的性質(zhì)及等邊對(duì)等角證得BH=BA，∠H=∠BAH，再根據(jù)四點(diǎn)共圓的知識(shí)求得∠DAC=∠DCA=22.5，證明AD＝DC即可解決問(wèn)題．

②如圖3﹣2中，當(dāng)點(diǎn)P在線段CD上時(shí)，根據(jù)三角形中位線的性質(zhì)結(jié)合三線合一的性質(zhì)證明DA＝DC即可解決問(wèn)題．

解：（1）如圖1中，延長(zhǎng)交的延長(zhǎng)線于，設(shè)交于點(diǎn)．

∵,

∴都是等邊三角形，

∴,

∵,，

∴，

在和中，，

，

，，

，

，

，線與直線相交所成的較小角的度數(shù)是，

故答案為，.

圖1

（2）如圖2中，設(shè)交于點(diǎn)，交于點(diǎn)．

，

∵

，

∵，

，

，,

∴.

，

，

直線與直線相交所成的小角的度數(shù)為．

圖2

（3），

如圖3﹣1中，當(dāng)點(diǎn)在線段上時(shí)，延長(zhǎng)交的延長(zhǎng)線于．

圖3-1

∵點(diǎn)，分別是，的中點(diǎn)，點(diǎn)在直線上，

，

，

，

，

，

，

，，

，

，

，

，

，

，

，

，

，

，，，四點(diǎn)共圓，

，，

，

，設(shè)，則，，

．

如圖3﹣2中，當(dāng)點(diǎn)在線段上時(shí)，設(shè)AB交CD于G，

∵點(diǎn)，分別是，的中點(diǎn)，點(diǎn)在直線上，

∴點(diǎn)為CG中點(diǎn)，

∵AP⊥CG，

∴AC=AG, ∠ACD=∠AGC，

∵，

∴，設(shè)，則，，

，

．

的值是，.

圖3-2