Question

【題目】如圖，在中，，，正方形的邊長(zhǎng)為2，將正方形繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)一周，連接、、．

（1）猜想：的值是__________，直線與直線相交所成的銳角度數(shù)是__________；

（2）探究：直線與垂直時(shí)，求線段的長(zhǎng)；

（3）拓展：取的中點(diǎn)，連接，直接寫(xiě)出線段長(zhǎng)的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1），；（2）或；（3）（3）．

【解析】

（1）證明△CBD∽△ABE，相似比為，△ABE可以看做△CBD繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°后放大得到，故直線與直線相交所成的銳角度數(shù)是45°；

（2）證明，得到，分點(diǎn)在線段上和點(diǎn)在線段延長(zhǎng)線上兩類(lèi)討論，分別求出AE長(zhǎng)，即可求出CD；

（3）延長(zhǎng)EF到G使得FG=EF，連接AG，BG，則△BFG為等腰直角三角形，求出BG，證明MF=，根據(jù)三角形三邊關(guān)系求出AG取值范圍，問(wèn)題得解．

解：（1）由題意得，△ABC, △EBD都是等腰直角三角形，

∴,

∴

∴△CBD∽△ABE

∴,△ABE可以看做△CBD繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°后放大得到，故直線與直線相交所成的銳角度數(shù)是45°；

（2）∵是腰長(zhǎng)為4的等腰直角三角形，四邊形的邊長(zhǎng)為2的正方形，

∴，，，

∴，，∴．

∴，∴．

∵，∴當(dāng)時(shí)，、、三點(diǎn)在一直線上時(shí)，

在中，∵，∴．

如圖2，當(dāng)點(diǎn)在線段上時(shí)，，∴；

如圖3，當(dāng)點(diǎn)在線段延長(zhǎng)線上時(shí)，，∴．

綜上所述，當(dāng)時(shí)，線段的長(zhǎng)為或；

（3）延長(zhǎng)EF到G使得FG=EF，連接AG，BG，

則△BFG為等腰直角三角形，

∴BG=BF=，

∵M為AE中點(diǎn)，F為EG中點(diǎn)，

∴MF為△EAG中位線，

∴MF=，

在△ABG中，∵AB-BG≤AG≤AB+BG，

∴≤AG≤，

∴≤MF≤ ．

本題為相似的綜合題，考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，正方形，等腰直角三角形的性質(zhì)，三角形中位線定理，三角形三邊關(guān)系，解題關(guān)鍵是找到圖形中的旋轉(zhuǎn)相似，注意運(yùn)用好分類(lèi)討論的數(shù)學(xué)思想，問(wèn)題3中要善于構(gòu)造中位線解決問(wèn)題．