【題目】已知:如圖,∠EOF=60°,在射線OE上取一點(diǎn)A,使OA=10cm,在射線OF上取一點(diǎn)B,使OB=16cm.以OA、OB為鄰邊作平行四邊形OACB.若點(diǎn)P在射線OF上,點(diǎn)Q在線段CA上,且CQ:OP=1:2.設(shè)CQ=a(a>0).
(1)連接PQ,當(dāng)a=2時(shí),求線段PQ的長(zhǎng)度.
(2)若以點(diǎn)P、B、C、Q四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形時(shí),求a的值.
(3)連接PQ,以PQ所在的直線為對(duì)稱軸,作點(diǎn)C關(guān)于直線PQ的對(duì)稱點(diǎn)C',當(dāng)點(diǎn)C′恰好落在平行四邊形OACB的邊上或者邊所在的直線上時(shí),直接寫出a的值.
【答案】(1);(2)或16;(3)7或14-2或12.
【解析】
(1)如圖1,作輔助線,構(gòu)建直角三角形,計(jì)算PM和MQ的長(zhǎng),利用勾股定理可得PQ的長(zhǎng);
(2)分兩種情況:
①當(dāng)P在邊OB上時(shí),如圖2,四邊形PBCQ是平行四邊形,
②當(dāng)P在OB的延長(zhǎng)線上時(shí),如圖3,四邊形BPCQ是平行四邊形,
分別根據(jù)PB=CQ列方程可得結(jié)論;
(3)存在三種情況:①如圖4,當(dāng)C'在邊AC上時(shí),PQ⊥AC,過B作BD⊥AC于D時(shí),則BD∥PQ,
②如圖5,當(dāng)C'在邊OB上時(shí),連接PC、CC'、C'Q,過C作CR⊥OP于R,
③如圖6,當(dāng)C'在直線CB上時(shí),連接PC、CC'、C'Q,
分別根據(jù)對(duì)稱性和直角三角形的性質(zhì)列方程可得結(jié)論.
解:(1)如圖1,過A作AN⊥OB于N,過B作BD⊥AC于D,過Q作QM⊥OF于M,則AN∥BD∥MQ,
Rt△AON中,∠AOB=∠EOF=60°,OA=10,
∴ON=OA=5,AN=5,
同理得:CD=5,BD=5,
∵四邊形OACB是平行四邊形,
∴OB∥AC,
∴MQ=BD=5,
當(dāng)a=2時(shí),CQ=2,OP=4,
∴BM=DQ=5-2=3,
∴PM=PB+BM=16-4+3=15,
Rt△PMQ中,由勾股定理得:PQ===10(cm);
(2)分兩種情況:
①當(dāng)P在邊OB上時(shí),如圖2,四邊形PBCQ是平行四邊形,
∴PB=CQ,
即16-2a=a,
a=;
②當(dāng)P在OB的延長(zhǎng)線上時(shí),如圖3,四邊形BPCQ是平行四邊形,
∴PB=CQ
即2a-16=a,
a=16,此時(shí)Q與A重合,
綜上,a的值為或16;
(3)分三種情況:
①如圖4,當(dāng)C'在邊AC上時(shí),PQ⊥AC,過B作BD⊥AC于D時(shí),則BD∥PQ,
∴PB=QD,
16-2a=a-5,
3a=21,
a=7;
②如圖5,當(dāng)C'在邊OB上時(shí),連接PC、CC'、C'Q,過C作CR⊥OP于R,
∵C與C'關(guān)于PQ對(duì)稱,
∴PQ是CC'的垂直平分線,
∴PC=PC',CQ=C'Q,
∴∠PCC'=∠PC'C,
∵AC∥OP,
∴∠PC'C=∠QCC',
∴∠QCC'=∠PCC',
∵CC'⊥PQ,
∴PC=CQ=a,
∵OP=2a,
∴BP=2a-16,
Rt△BCR中,∠CBR=60°,
∴∠BCR=30°,
∵BC=10,
∴BR=5,CR=5,
∴PR=5-(2a-16)=21-2a,
由勾股定理得:,
a=14+2(舍)或14-2;
③如圖6,當(dāng)C'在直線CB上時(shí),連接PC、PC'、C'Q,
Rt△PBR中,∠PBR=60°,
∴∠BPR=30°,
∵PB=2a-16,
∴BR=BP=a-8,
同理得:CR=CQ=a,
∵BC=BR+CR,
∴a-8+a=10,a=12,
綜上,a的值為7或14-2或12.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,△ABC中,∠ABC=45°,CD⊥AB于D,BE平分∠ABC,且BE⊥AC于E,與CD相交于點(diǎn)F,DH⊥BC于H交BE于G.下列結(jié)論:①BD=CD;②AD+CF=BD;③CE=BF;④AE=BG.其中正確的個(gè)數(shù)是( 。
A. 1個(gè)B. 2個(gè)C. 3個(gè)D. 4個(gè)
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【題目】二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)的部分圖象如圖所示,圖象過點(diǎn)(﹣1,0),對(duì)稱軸為直線x=2,下列結(jié)論:(1)4a+b=0;(2)8a+7b+2c>0;(3)若點(diǎn)A(﹣3,y1)、點(diǎn)B(﹣,y2)、點(diǎn)C(,y3)在該函數(shù)圖象上,則y1<y3<y2;(4)若方程a(x+1)(x﹣5)=﹣3的兩根為x1和x2,且x1<x2,則x1<﹣1<5<x2.其中正確的結(jié)論有().
A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在中,點(diǎn)為AC邊中點(diǎn),動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā),沿著的路徑以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度運(yùn)動(dòng)到點(diǎn),在此過程中線段的長(zhǎng)度隨著運(yùn)動(dòng)時(shí)間變化的函數(shù)關(guān)系如圖2所示,則邊的長(zhǎng)為__________.
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【題目】如圖,在中,,,正方形的邊長(zhǎng)為2,將正方形繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)一周,連接、、.
(1)猜想:的值是__________,直線與直線相交所成的銳角度數(shù)是__________;
(2)探究:直線與垂直時(shí),求線段的長(zhǎng);
(3)拓展:取的中點(diǎn),連接,直接寫出線段長(zhǎng)的取值范圍.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,某建筑物上掛著“巴山渝水,魅力重慶”的宣傳條幅,王同學(xué)利用測(cè)傾器在斜坡的底部處測(cè)得條幅底部的仰角為60°,沿斜坡AB走到B處測(cè)得條幅頂部C的仰角為50°.已知斜坡的坡度米,米(點(diǎn)在同平面內(nèi),,測(cè)傾器的高度忽略不計(jì)),則條幅的長(zhǎng)度約為(參考數(shù)據(jù):)
A.12.5米B.12.8米C.13.1米D.13.4米
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】定義:將一個(gè)大于0的自然數(shù),去掉其個(gè)位數(shù)字,再把剩下的數(shù)加上原數(shù)個(gè)位數(shù)字的4倍,如果得到的和能被13整除,則稱這個(gè)數(shù)是“一刀兩斷”數(shù),如果和太大無法直接觀察出來,就再次重復(fù)這個(gè)過程繼續(xù)計(jì)算,例如,所以55263是“一刀兩斷”數(shù).,所以3247不是“一刀兩斷”數(shù).
(1)判斷5928是否為“一刀兩斷”數(shù):_____(填是或否),并證明任意一個(gè)能被13整除的數(shù)是“一刀兩斷”數(shù);
(2)對(duì)于一個(gè)“一刀兩斷”數(shù)均為正整數(shù)),規(guī)定.若的千位數(shù)字滿是,千位數(shù)字與十位數(shù)字相同,且能被65整除,求出所有滿足條件的四位數(shù)中,的最大值.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,的邊在軸的正半軸上,,反比例函數(shù)()的圖象經(jīng)過點(diǎn).
(1)求反比例函數(shù)的關(guān)系式和點(diǎn)的坐標(biāo),
(2)過的中點(diǎn)作軸交反比例函數(shù)圖象于點(diǎn),連接.求△的面積.
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【題目】已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象如圖所示,有以下結(jié)論:①abc>0;②a-b+c<0;③2a=b;④4a+2b+c>0;⑤若點(diǎn)(-2,y1)和(-,y2)在該圖象上,則y1>y2. 其中正確的結(jié)論個(gè)數(shù)是 ( )
A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)
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