Question

【題目】如圖，已知拋物線的頂點(diǎn)在第四象限，頂點(diǎn)到x軸的距離為3，拋物線與x軸交于原點(diǎn)O（0，0）及點(diǎn)A，且OA=4． （1）求該拋物線的解析式； （2）若線段OA繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°到OA′，試判斷點(diǎn)A′是否在該拋物線上，并說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1）（2）點(diǎn)A′不在該拋物線上，理由見(jiàn)解析.

【解析】

（1）首先求出拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)，設(shè)拋物線的解析式為y=a（x-2）2+3，由于拋物線經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，進(jìn)而求出a的值即可；
（2）設(shè)點(diǎn)A′坐標(biāo)為（x，y），先求出直線OA′的解析式，根據(jù)OA′=OA=4，求出點(diǎn)A′的坐標(biāo)，進(jìn)而判斷點(diǎn)A′是否在該拋物線上．

解：（1）根據(jù)題意可知：拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（2，-3），

設(shè)拋物線的解析式為y=a（x-2）2-3，

由于拋物線經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，

即4a-3=0，

解得a=．

故拋物線的解析式為y=（x-2）2-3；

（2）設(shè)點(diǎn)A′坐標(biāo)為（x，y），

則直線OA′的解析式為y=-x①，

根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知：OA′=OA=4，

即x2+y2=16②，

由①②可得x=2，y=-2，

即點(diǎn)A′坐標(biāo)為（2，-2），

把點(diǎn)A′坐標(biāo)為（2，-2）代入解析式y=（x-2）2-3；

-2≠（2-2）2-3，

即點(diǎn)A′不在該拋物線上．