Question

有n個(gè)數(shù)，第一個(gè)記為a₁，第二個(gè)記為a₂，…，第n個(gè)記為a_n．若a₁=

1

2

，且從第二個(gè)數(shù)起，每個(gè)數(shù)都等于“1與它前面那個(gè)數(shù)的差的倒數(shù)”．
（1）求a₂，a₃，a₄的值；
（2）根據(jù)（1）的計(jì)算結(jié)果，請(qǐng)你猜想并寫出a₂₀₁₄，a₂₀₁₅，a₂₀₁₆的值；
（3）計(jì)算：a₁•a₂•a₃•…a₂₀₁₄•a₂₀₁₅•a₂₀₁₆．

Answer 1

考點(diǎn)：規(guī)律型：數(shù)字的變化類,倒數(shù)

專題：

分析：（1）根據(jù)a₁=

1

2

和每個(gè)數(shù)都等于“1與它前面那個(gè)數(shù)的差的倒數(shù)”，分別列出算式，再進(jìn)行計(jì)算即可；
（2）根據(jù)（1）得出的規(guī)律，每三個(gè)數(shù)循環(huán)一次，用2014、2015、2016分別除以3，即可得出答案；
（3）根據(jù)得出的規(guī)律每三個(gè)數(shù)循環(huán)一次，三個(gè)數(shù)相乘得（-1）．再看（-1）的個(gè)數(shù)，即可得出答案．

解答：解：（1）∵a₁=

1

2

，
∴a₂=

1

1- 1 2

=2，
a₃=

1

1-2

=-1，
a₄=

1

1-(-1)

=

1

2

；

（2）根據(jù)（1）的計(jì)算可以得到a₁=a₄，則這些數(shù)三個(gè)數(shù)循環(huán)一次，
2014÷3=671…1，則a₂₀₁₄=a₁=

1

2

；
2015÷3=671…2，則a₂₀₁₄=a₂=2；
2016÷3=672，則a₂₀₁₄=a₃=-1；

（3）根據(jù)題意得：
a₁•a₂•a₃•…a₂₀₁₄•a₂₀₁₅•a₂₀₁₆=

1

2

×2×（-1）×…×

1

2

×2×（-1）=1．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了數(shù)字的變化類，用到的知識(shí)點(diǎn)是倒數(shù)、有理數(shù)的運(yùn)算，正確理解結(jié)果的循環(huán)的規(guī)律是本題的關(guān)鍵．