Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知拋物線y=x2-bx+5與x軸交于A，B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，已知點(diǎn)A的坐標(biāo)是（1，0），點(diǎn)A在點(diǎn)B的左邊.

（1）求拋物線的函數(shù)解析式；

（2）如圖1，點(diǎn)E為BC的中點(diǎn)，將△BOC沿CE方向進(jìn)行平移，平移后得到的三角形為△HGF，當(dāng)點(diǎn)F與點(diǎn)E重合時(shí)停止運(yùn)動(dòng).設(shè)平移的距離CF=m，記△HGF在直線l：y=x-3下方的圖形面積為S，求S關(guān)于m的函數(shù)解析式；

（3）如圖2，連結(jié)AC和BC，點(diǎn)M，E分別是AC, BC的中點(diǎn).點(diǎn)P是線段ME上任一點(diǎn)，點(diǎn)Q是線段AB上任一點(diǎn).現(xiàn)進(jìn)行如下兩步操作：

第一步：沿三角形CAB的中位線ME將紙片剪成兩部分，并在線段ME上任意取一點(diǎn)P，線段AB上任意取一點(diǎn)Q，沿PQ將四邊形紙片MABE剪成兩部分；

第二步：將PQ左側(cè)紙片繞M點(diǎn)按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)180°，使線段MA與MC重合，將PQ右側(cè)紙片繞E點(diǎn)按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)180°，使線段EC與EB重合，拼成一個(gè)與三角形紙片ABC面積相等的四邊形紙片．(注：裁剪和拼圖過程均無(wú)縫且不重疊)

求拼成的這個(gè)四邊形紙片的周長(zhǎng)的最小值與最大值的和.

Answer 1

【答案】（1）y=x2-6x+5；（2）S =；（3）最大周長(zhǎng)與最小周長(zhǎng)的和是.

【解析】

（1）運(yùn)用待定系數(shù)法求解即可；

（2）進(jìn)行分類討論：①當(dāng)0≤m≤時(shí)先求出點(diǎn)J的坐標(biāo)，再求出ΔJHK的面積即可；②當(dāng)≤m≤時(shí)，求出ΔFJK的面積，再求出四邊形KGHJ的面積即可；

（3）通過拼圖，可求出最大周長(zhǎng)和最小周長(zhǎng).

（1）∵已知拋物線y=x2-bx+5與x軸交于A（1，0），代入解析式，得0=12-m+5，

解得：b=6.

∴拋物線解析式為y=x2-6x+5.

（2）如圖：

①當(dāng)0≤m≤時(shí)，求得兩直線交點(diǎn)J點(diǎn)的坐標(biāo)，

∴J點(diǎn)的坐標(biāo)是(4，1).

∴CJ=4，BJ=，

∴JH=+m.

∴S=ΔJHK的面積=

②當(dāng)≤m≤時(shí)，

∵BH=CF=m,BJ=，

∴JH=+m.

∴FJ=-JH=

∴ΔFJK的面積是

S=四邊形KGHJ的面積=—= .

（3）拼成的四邊形必是平行四邊形，如圖所示時(shí)周長(zhǎng)最小，此時(shí)拼成的圖形是矩形.PQ⊥AB，易求得A(1，0)，B(5，0)，AB=4.ME=2.

∴NT=4，RN=PQ=

∴最小周長(zhǎng)=2×（4+）=13.

如圖，所示時(shí)，周長(zhǎng)最大.此時(shí)，NT=4，RM=MB=

∴最大周長(zhǎng)

∴最大周長(zhǎng)與最小周長(zhǎng)的和是.