等邊三角形ABC的邊長為6,在AC,BC邊上各取一點(diǎn)E,F(xiàn),連接AF,BE相交于點(diǎn)P.
(1)若AE=CF;
①求證:AF=BE,并求∠APB的度數(shù);
②若AE=2,試求AP•AF的值;
(2)若AF=BE,當(dāng)點(diǎn)E從點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C時(shí),試求點(diǎn)P經(jīng)過的路徑長.
【考點(diǎn)】相似三角形的判定與性質(zhì);全等三角形的判定與性質(zhì);等邊三角形的性質(zhì).
【專題】證明題;壓軸題;動(dòng)點(diǎn)型.
【分析】(1)①證明△ABE≌△CAF,借用外角即可以得到答案;②利用勾股定理求得AF的長度,再用平行線分線段成比例定理或者三角形相似定理求得的比值,即可以得到答案.
(2)當(dāng)點(diǎn)F靠近點(diǎn)C的時(shí)候點(diǎn)P的路徑是一段弧,由題目不難看出當(dāng)E為AC的中點(diǎn)的時(shí)候,點(diǎn)P經(jīng)過弧AB的中點(diǎn),此時(shí)△ABP為等腰三角形,繼而求得半徑和對(duì)應(yīng)的圓心角的度數(shù),求得答案.點(diǎn)F靠近點(diǎn)B時(shí),點(diǎn)P的路徑就是過點(diǎn)B向AC做的垂線段的長度;
【解答】(1)①證明:∵△ABC為等邊三角形,
∴AB=AC,∠C=∠CAB=60°,
又∵AE=CF,
在△ABE和△CAF中,
,
∴△ABE≌△CAF(SAS),
∴AF=BE,∠ABE=∠CAF.
又∵∠APE=∠BPF=∠ABP+∠BAP,
∴∠APE=∠BAP+∠CAF=60°.
∴∠APB=180°﹣∠APE=120°.
②∵∠C=∠APE=60°,∠PAE=∠CAF,∴△APE∽△ACF,
∴,即,所以AP•AF=12
(2)若AF=BE,有AE=BF或AE=CF兩種情況.
①當(dāng)AE=CF時(shí),點(diǎn)P的路徑是一段弧,由題目不難看出當(dāng)E為AC的中點(diǎn)的時(shí)候,點(diǎn)P經(jīng)過弧AB的中點(diǎn),此時(shí)△ABP為等腰三角形,且∠ABP=∠BAP=30°,
∴∠AOB=120°,
又∵AB=6,
∴OA=,
點(diǎn)P的路徑是.
②當(dāng)AE=BF時(shí),點(diǎn)P的路徑就是過點(diǎn)C向AB作的垂線段的長度;因?yàn)榈冗吶切蜛BC的邊長為6,所以點(diǎn)P的路徑為:.
所以,點(diǎn)P經(jīng)過的路徑長為或3.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等邊三角形性質(zhì)的綜合應(yīng)用以及相似三角形的判定及性質(zhì)的應(yīng)用,解答本題的關(guān)鍵是注意轉(zhuǎn)化思想的運(yùn)用.
年級(jí) | 高中課程 | 年級(jí) | 初中課程 |
高一 | 高一免費(fèi)課程推薦! | 初一 | 初一免費(fèi)課程推薦! |
高二 | 高二免費(fèi)課程推薦! | 初二 | 初二免費(fèi)課程推薦! |
高三 | 高三免費(fèi)課程推薦! | 初三 | 初三免費(fèi)課程推薦! |
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
“a是實(shí)數(shù),|a|≥0”這一事件是( 。
A.必然事件 B.不確定事件 C.不可能事件 D.隨機(jī)事件
查看答案和解析>>
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
在圣誕節(jié)前夕,幾位同學(xué)到某文具店調(diào)查一種進(jìn)價(jià)為2元的圣誕賀卡的銷售情況,每張定價(jià)3元,每天能賣出500張,每張售價(jià)每上漲0.1元,其每天銷售量就減少10個(gè).另外,物價(jià)局規(guī)定,售價(jià)不得超過商品進(jìn)價(jià)的240%.據(jù)此,請你解答下面問題:
(1)要實(shí)現(xiàn)每天800元的利潤,應(yīng)如何定價(jià)?
(2)800元的利潤是否最大?如何定價(jià),才能獲得最大利潤?
查看答案和解析>>
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
拋物線y=﹣x2+bx+c上部分點(diǎn)的橫坐標(biāo)x,縱坐標(biāo)y的對(duì)應(yīng)值如下表:
x | … | ﹣2 | ﹣1 | 0 | 1 | 2 | … |
y | … | 0 | 4 | 6 | 6 | 4 | … |
從上表可知,下列說法正確的個(gè)數(shù)是( 。
①拋物線與x軸的一個(gè)交點(diǎn)為(﹣2,0);②拋物線與y軸的交點(diǎn)為(0,6);③拋物線的對(duì)稱軸是x=1;④在對(duì)稱軸左側(cè)y隨x增大而增大.
A.1 B.2 C.3 D.4
查看答案和解析>>
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
下列計(jì)算正確的是( 。
A.b2•b2=2b2 B.(x﹣3)2=x2﹣9 C.(a5)2=a7 D.(﹣2a)2=4a2
查看答案和解析>>
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
如圖,若D是AB中點(diǎn),E是BC中點(diǎn),若AC=8,EC=3,AD= ( )
A.1 B.2 C.4 D.5
查看答案和解析>>
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
如圖,四邊形ABCD是矩形,用直尺和圓規(guī)作出∠A的平分線與BC邊的垂直平分線的交點(diǎn)Q(不寫作法,保留作圖痕跡).連結(jié)QD,在新圖形中,你發(fā)現(xiàn)了什么?請寫出一條.
查看答案和解析>>
湖北省互聯(lián)網(wǎng)違法和不良信息舉報(bào)平臺(tái) | 網(wǎng)上有害信息舉報(bào)專區(qū) | 電信詐騙舉報(bào)專區(qū) | 涉歷史虛無主義有害信息舉報(bào)專區(qū) | 涉企侵權(quán)舉報(bào)專區(qū)
違法和不良信息舉報(bào)電話:027-86699610 舉報(bào)郵箱:58377363@163.com