Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，在第一象限內(nèi)，OM與OB是兩坐標(biāo)軸夾角的三等分線，點(diǎn)E是OM上一點(diǎn)，EC⊥X軸于C點(diǎn)，ED⊥OB于D點(diǎn)，OD=8，OE=10
（1）求證：∠ECD=∠EDC；
（2）求證：OC=OD；      
（3）求點(diǎn)E的坐標(biāo)；
（4）試判斷OE與線段CD的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由．

Answer 1

證明：（1）∵OE平分∠AOB，EC⊥OA，ED⊥OB，
∴ED=EC，即△CDE為等腰三角形，
∴∠ECD=∠EDC；

（2）∵點(diǎn)E是∠AOB的平分線上一點(diǎn)，EC⊥OA，ED⊥OB，
∴∠DOE=∠COE，∠ODE=∠OCE=90°，OE=OE，
∴Rt△OED≌Rt△OEC（HL），
∴OC=OD；

（3）∵OD=8，OE=10，
∴DE==6，
∴OC=8，CE=6，
∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為（8，6）；

（4）OE垂直平分CD，理由如下：
在△DOF和△COF中，
，
∴△DOF≌△COF，
∴DF=FC，
∵ED=EC，
∴OE是線段CD的垂直平分線．
分析：（1）根據(jù)角平分線性質(zhì)可證ED=EC，從而可知△CDE為等腰三角形，可證∠ECD=∠EDC；
（2）由OE平分∠AOB，EC⊥OA，ED⊥OB，OE=OE，可證△OED≌△OEC，可得OC=OD；
（3）利用勾股定理求出CE的長(zhǎng)即可；
（4）根據(jù)SAS證出△DOF≌△COF，得出DF=FC，再根據(jù)ED=EC，OC=OD，可證OE是線段CD的垂直平分線．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了角平分線性質(zhì)，線段垂直平分線的判定，等腰三角形的判定，三角形全等的相關(guān)知識(shí)．關(guān)鍵是明確圖形中相等線段，相等角，全等三角形．