Question

23、如圖，已知線段AB與直線CD交于點B．

（1）若點P是CD上離點A最近的點，請你用尺規(guī)作出點P和以AP為直徑的⊙O（允許用三角尺作垂線；不寫作法，保留作圖痕跡）；
（2）若⊙O交AB于點E，F(xiàn)是PB的中點，試利用你作出的圖證明EF與⊙O相切．

Answer 1

分析：（1）先得出點P，過點A作直線CD的垂線，垂足為P，再作出線段AP的垂直平分線，找出AP的中點O，然后以O(shè)為圓心，OA長為半徑畫圓即可；
（2）連接OE，PE，由OE=OP，則∠OPE=∠OEP，由圓周角定理，得∠PEB=90°再根據(jù)F為PB的中點，可得出EF=PF=BF，∠EPF=PEF從而得出∠OEF=90°，即EF是⊙O的切線．

解答：解：（1）如圖

（2）連接OE，PE
∵OE=OP，
∴∠OPE=∠OEP，
∵AP為直徑，
∴∠AEP=90°，
∴∠PEB=90°，
∵F為PB的中點，
∴EF=PF=BF，
∴∠EPF=∠PEF，
∵∠OPE+∠EPF=90°，
∴∠OEP+∠PEF=90°，
∴∠OEF=90°，
∴EF是⊙O的切線．

點評：本題考查了基本作圖以及切線的判定，是基礎(chǔ)知識要熟練掌握．