Question

【題目】如圖，已知四邊形ABCD是矩形，cot∠ADB= ，AB=16．點(diǎn)E在射線BC上，點(diǎn)F在線段BD上，且∠DEF=∠ADB．

（1）求線段BD的長；
（2）設(shè)BE=x，△DEF的面積為y，求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出函數(shù)定義域；
（3）當(dāng)△DEF為等腰三角形時(shí)，求線段BE的長．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵四邊形ABCD是矩形，

∴∠A=90°，

在Rt△BAD中， ，AB=16，

∴AD=12∴

（2）

解：∵AD∥BC，

∴∠ADB=∠DBC，

∵∠DEF=∠ADB，

∴∠DEF=∠DBC，

∵∠EDF=∠BDE，

∴△EDF∽△BDE，

∴ ，

∵BC=AD=12，BE=x，

∴CE=|x﹣12|，

∵CD=AB=16

∴在Rt△CDE中， ，

∵ ，

∴ ，

∴ ，定義域?yàn)?＜x≤24

（3）

解：∵△EDF∽△BDE，

∴當(dāng)△DEF是等腰三角形時(shí)，△BDE也是等腰三角形，

①當(dāng)BE=BD時(shí)

∵BD=20，∴BE=20

②當(dāng)DE=DB時(shí)，

∵DC⊥BE，∴BC=CE=12，

∴BE=24；

③ 當(dāng)EB=ED時(shí)，

作EH⊥BD于H，則BH= ，cos∠HBE=cos∠ADB，

即

∴ ，

解得：BE= ；

綜上所述，當(dāng)△DEF時(shí)等腰三角形時(shí)，線段BE的長為20或24或

【解析】（1）由矩形的性質(zhì)和三角函數(shù)定義求出AD，由勾股定理求出BD即可；（2）證明△EDF∽△BDE，得出 ，求出CE=|x﹣12|，由勾股定理求出DE，即可得出結(jié)果；（3）當(dāng)△DEF是等腰三角形時(shí)，△BDE也是等腰三角形，分情況討論：①當(dāng)BE=BD時(shí)；②當(dāng)DE=DB時(shí)；③當(dāng)EB=ED時(shí)；分別求出BE即可．
【考點(diǎn)精析】掌握平行四邊形的性質(zhì)是解答本題的根本，需要知道平行四邊形的對邊相等且平行；平行四邊形的對角相等，鄰角互補(bǔ)；平行四邊形的對角線互相平分．