Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，四邊形ABCD滿足，CD∥AB，且A、B在x軸上，點(diǎn)D（0，6），若tan∠DAO=2，AB：AO=1：1．
（1）A點(diǎn)坐標(biāo)為（______），B點(diǎn)坐標(biāo)為（______）；
（2）求過A、B、D三點(diǎn)的拋物線方程；
（3）若（2）中拋物線過點(diǎn)C，求C點(diǎn)坐標(biāo)；
（4）若動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)C出發(fā)沿C?B?x正方向，同時(shí)Q點(diǎn)從點(diǎn)A出發(fā)沿A?B?C方向（終點(diǎn)C）運(yùn)動(dòng)，且P、Q兩點(diǎn)運(yùn)動(dòng)速度分別為個(gè)單位/秒，1個(gè)單位/秒，若設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為x秒，試探索△BPQ的形狀，并說明相應(yīng)x的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)D點(diǎn)的坐標(biāo)，可知OD的長(zhǎng)；Rt△OAD中，根據(jù)∠DAO的正切值即可求出OA、AB、OB的長(zhǎng)．也就求出了A、B的坐標(biāo)；
（2）用待定系數(shù)法求解即可；
（3）由于CD∥x軸，則D、C關(guān)于拋物線的對(duì)稱軸對(duì)稱，由（2）的函數(shù)解析式即可求出拋物線的對(duì)稱軸方程，進(jìn)而可求出C點(diǎn)坐標(biāo)；
（4）根據(jù)B、C的坐標(biāo)，易求出BC=3，則Q、P同時(shí)到達(dá)B點(diǎn)，且用時(shí)都是3秒，因此本題要分情況進(jìn)行討論：①Q(mào)在AB上，P在BC上時(shí)；②P在AB延長(zhǎng)線上，Q在BC上時(shí)；③Q到達(dá)終點(diǎn)后．
解答：解：（1）Rt△AOD中，OD=6，tan∠DAO=2，
∴OA=3；
∴AB=OA=3，OB=6；
故A（3，0），B（6，0）；

（2）已知拋物線過A（3，0），B（6，0），D（0，6）；
可設(shè)拋物線的解析式為y=a（x-3）（x-6）（a≠0），則有：
-3×（-6）a=6，a=；
∴y=（x-3）（x-6）=x²-3x+6；

（3）由（2）知：拋物線的對(duì)稱軸為x=；
由于CD∥x軸，且C、D都是拋物線上的點(diǎn)，
所以C、D關(guān)于拋物線的對(duì)稱軸對(duì)稱；
已知D（0，6），
故C（9，6）；

（4）過C作CE⊥x軸于E，則CE=6，OE=9，BE=3；
Rt△BCE中，BE=3，CE=6，
由勾股定理，得：BC=3；
∴P由C到B的時(shí)間為3÷=3秒；
Q由A到B的時(shí)間為3÷1=3秒；
∴P、Q同時(shí)到達(dá)B點(diǎn)；
①0≤x＜3時(shí)，∠PBQ＞∠CEB=90°；
故此時(shí)△BPQ是鈍角三角形；
②3＜x≤3時(shí)，P在AB延長(zhǎng)線上，Q在線段BC上；
此時(shí)BP=（t-3），BQ=t-3；
∴BQ：BP=1：；
在Rt△CBE中，cos∠CBE=BE：BC=1：，
即cos∠CBE=BQ：BP；
∴∠BQP=90°，此時(shí)△BQP是直角三角形；
③x＞3時(shí)，由②知，此時(shí)∠BQP＞90°，
故此時(shí)△BQP是鈍角三角形；
綜上所述，當(dāng)0≤x＜3或x＞3時(shí)，△BPQ是鈍角三角形；
當(dāng)＜x≤3時(shí)，△BQP是直角三角形．
點(diǎn)評(píng)：此題是二次函數(shù)的綜合題，涉及到：二次函數(shù)解析式的確定、拋物線的對(duì)稱性、解直角三角形的應(yīng)用等知識(shí)．