Question

【題目】已知，如圖1，拋物線過三點(diǎn)，頂點(diǎn)為點(diǎn)，連接，點(diǎn)為拋物線對稱軸上一點(diǎn)，連接，直線過點(diǎn)兩點(diǎn)．

（1）求拋物線及直線的函數(shù)解析式；

（2）求的最小值；

（3）求證：∽；

（4）如圖2，若點(diǎn)是在拋物線上且位于第一象限內(nèi)的一動點(diǎn)，請直接寫出面積的最大值及此時點(diǎn)的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1），；（2）；（3）詳見解析；（4）（4），此時．

【解析】

（1）根據(jù)A，B坐標(biāo)用兩點(diǎn)式設(shè)出拋物線解析式，再把C點(diǎn)坐標(biāo)代入，求出解析式，然后再根據(jù)B，C坐標(biāo)求出直線的函數(shù)解析式即可；

（2）關(guān)于拋物線的對稱軸對稱，則當(dāng)的值最小時，直線與拋物線的對稱軸的交點(diǎn)即為點(diǎn)，此時，根據(jù)B，C坐標(biāo)求出BC長即可；

（3）作軸于點(diǎn)，設(shè)拋物線的對稱軸與軸交于點(diǎn)，求出CD和AC長，得到，即可證明；

（4）設(shè)M點(diǎn)為，則N點(diǎn)為，表示出△MBC的面積，求出最大值即可.

（1）∵拋物線過，

∴可設(shè)拋物線的函數(shù)解析式為，

把代入得，，

，

∴拋物線的解析式為，

把代入得，

，

解得，，

∴直線的解析式為；

（2）關(guān)于拋物線的對稱軸對稱，

∴當(dāng)的值最小時，直線與拋物線的對稱軸的交點(diǎn)即為點(diǎn)，

∴此時，

，

∴的最小值是；

（3）如圖3，作軸于點(diǎn)，設(shè)拋物線的對稱軸與軸交于點(diǎn)，

∵拋物線的對稱軸為直線，

∴把代入得，

∴，

，，

又，

，

，

∽；

（4）過點(diǎn)M作MN⊥x軸，交CB于點(diǎn)N，

∵M在拋物線上，N在CB上，

∴設(shè)M點(diǎn)為，則N點(diǎn)為，

則

則當(dāng)時，有最大值，

此時．