Question

先分解因式（1）、（2）、（3），再解答后面問題；
（1）1+a+a（1+a）；
（2）1+a+a（1+a）+a（1+a）²；
（3）1+a+a（1+a）+a（1+a）²+a（1+a）³
問題：
a．先探索上述分解因式的規(guī)律，然后寫出：1+a+a（1+a）+a（1+a）²+a（1+a）³+…+a（1+a）²⁰⁰⁷分解因式的結果是______．
b．請按上述方法分解因式：1+a+a（1+a）+a（1+a）²+a（1+a）³+…+a（1+a）ⁿ（n為正整數(shù)）．

Answer 1

解：（1）原式=（1+a）（1+a）=（1+a）²；
（2）原式=（1+a）[1+a+a（1+a）]=（1+a）（1+a）（1+a）=（1+a）³；
（3）原式=（1+a）[1+a+a（1+a）+a（1+a）²]，
=（1+a）（1+a）[1+a+a（1+a）]，
=（1+a）²（1+a）（1+a），
=（1+a）⁴，
a．（1+a）²⁰⁰⁸，
b．原式=（1+a）[1+a+a（1+a）+a（1+a）²+…+a（1+a）^n-1]，
=（1+a）（1+a）[1+a+a（1+a）+a（1+a）²+…+a（1+a）^n-2]，
=（1+a）²（1+a）[1+a+a（1+a）+a（1+a）²+…+a（1+a）^n-3]，
=（1+a）^n-1（1+a）（1+a）=（1+a）ⁿ⁺¹．
分析：（1）提取公因式（1+a）即可得出答案；
（2）提取公因式（1+a），再結合同底數(shù)冪的乘法運算法則即可得出答案；
（3）提取公因式（1+a）再結合同底數(shù)冪的乘法運算法則即可得出答案；
a．根據(jù)以上規(guī)律即可得出運算規(guī)律，得出答案即可；
b．根據(jù)以上規(guī)律即可得出運算規(guī)律，得出答案即可．
點評：此題主要考查了提取公因式法分解因式，根據(jù)運算結果得出規(guī)律，有利于培養(yǎng)同學們觀察能力．