Question

（2000•海淀區(qū)）已知：關于x的方程x²+3x+a=0①的兩個實數(shù)根的倒數(shù)和等于3，關于x的方程（k-1）x²+3x-2a=0②有實數(shù)根且k為正整數(shù)，求代數(shù)式的值．

Answer 1

【答案】分析：先根據(jù)關于x的方程x²+3x+a=0①的兩個實數(shù)根的倒數(shù)和等于3，根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關系可得兩根的和與兩根的積，再根據(jù)+==3，得到關于a的方程，得a的值，再由關于x的方程（k-1）x²+3x-2a=0②有實數(shù)根，即判別式△≥0，k為正整數(shù)，求出k值，代入代數(shù)式求值．
解答：解法一：設方程①的兩個實數(shù)根為x₁，x₂
根據(jù)題意，得
∴=3，即=3．③
解得a=-1
經(jīng)檢驗，a=-1是方程③的解，且使方程x²+3x-1=0有實數(shù)根．
將a=-1代入方程②，得（k-1）x²+3x+2=0
當k=1時，一元一次方程3x+2=0有實數(shù)根．
∴=0
當k≠1時，方程②為一元二次方程，
且△=9-8（k-1）≥0．
解得：k≤
∴k為正整數(shù)，且k≠1，
∴k=2
而k=2時，代數(shù)式無意義
綜上所述，代數(shù)式的值為0．
解法二：設方程①的兩個實數(shù)根為x₁，x₂
根據(jù)題意，得
∴==3且a≤．
解得a=-1，以下同解法一
點評：此題主要考查了根與系數(shù)的關系，將根與系數(shù)的關系與代數(shù)式變形相結合解題是一種經(jīng)常使用的解題方法．