【題目】如圖1,在正方形ABCD中,對角線AC、BD交于點(diǎn)O,點(diǎn)E在AB上,點(diǎn)F在BC的延長線上,且AE=CF,連接EF交AC于點(diǎn)P,分別連接DE,DF,DP
(1)求證:△ADE≌△CDF;
(2)求證:△ADP∽△BDF;
(3)如圖2,若PE=BE,PC=,求CF的值.
【答案】(1)詳見解析;(2)詳見解析;(3)CF=﹣1,
【解析】
(1)根據(jù)SAS證明即可;
(2)如圖1,作FH∥AB交AC的延長線于H.易證△APE≌△HPF(AAS),得PE=PF,再證△DEF是等腰直角三角形,得∠EDP=∠FDP=45°,進(jìn)而得∠DAP=∠DBF,∠ADP=∠BDF即可得到結(jié)論;
(3)如圖2,作PH⊥BC于H.首先證明∠EFB=30°,由PC=,得:HF=,進(jìn)而求出CF,即可解決問題.
(1)∵四邊形ABCD是正方形,
∴DA=DC,∠DAE=∠BCD=∠DCF=90°,
∵AE=CF,
∴△ADE≌△CDF(SAS);
(2)如圖1,作FH∥AB交AC的延長線于H.
∵四邊形ABCD是正方形,
∴∠ACB=∠FCH=45°,
∵AB∥FH,
∴∠HFC=∠ABC=90°,
∴∠FCH=∠H=45°,
∴CF=FH=AE,
∵∠PAE=∠H=45°,∠APE=∠FPH,
∴△APE≌△HPF(AAS),
∴PE=PF,
∵△ADE≌△CDF,
∴DE=DF,∠ADE=∠CDF,
∴∠EDF=∠ADC=90°,
∴△DEF是等腰直角三角形,
∵EP=PF,
∴∠EDP=∠FDP=45°,
∵ADP=∠ADE+∠PDE=∠ADE+45°,∠BDF=∠CDF+∠BDC=∠CDF+45°,
∴∠ADP=∠BDF,
∵∠DAP=∠DBF=45°,
∴△ADP∽△BDF;
(3)如圖2中,作PH⊥BC于H.
∵∠ACB=45°,PC=,
∴PH=CH=1.
由(2)得:BE=PE=PF,
∴BE=EF,
∴∠BFE=30°,
∴PF=2,
∴HF=,
∴CF=﹣1,
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】將一個(gè)直角三角形紙片放置在平面直角坐標(biāo)系中,已知點(diǎn),點(diǎn),點(diǎn).是邊上的一動點(diǎn)(點(diǎn)不與點(diǎn)、重合),沿著折疊該紙片,得點(diǎn)的對應(yīng)點(diǎn).
(1)如圖1,當(dāng)點(diǎn)在第一象限,且滿足時(shí),求點(diǎn)的坐標(biāo);
(2)如圖2,當(dāng)為中點(diǎn)時(shí),求的長;
(3)當(dāng)時(shí),直接寫出點(diǎn)的坐標(biāo).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知兩函數(shù):反比例函數(shù)和二次函數(shù)y=x2+x+a.
(1)若兩個(gè)函數(shù)的圖象都經(jīng)過點(diǎn)(2,2).
①求兩函數(shù)的表達(dá)式;
②證明反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn).
(2)若二次函數(shù)y=x2+x+a的圖象與x軸有兩個(gè)不同的交點(diǎn),是否存在實(shí)數(shù)a,使方程x2+x+a=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根的倒數(shù)和等于﹣1?若存在,求出a的值;若不存在,說明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,已知直線與x軸、y軸相交于P、Q兩點(diǎn),與的圖象相交于兩點(diǎn),連接OA,OB,給出下列結(jié)論:①;②;③;④不等式的解集是或,其中正確的是( )
A.②③B.③④C.①②③④D.②③④
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,△ABC三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A(1,1),B(4,2),C(3,4)
(1)請畫出將△ABC向左平移4個(gè)單位長度后得到的圖形△A1B1C1;
(2)請畫出△ABC關(guān)于原點(diǎn)O成中心對稱的圖形△A2B2C2;
(3)在x軸上找一點(diǎn)P,使PA+PB的值最小,請直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,△ABC三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A(1,1),B(4,2),C(3,4)
(1)請畫出將△ABC向左平移4個(gè)單位長度后得到的圖形△A1B1C1;
(2)請畫出△ABC關(guān)于原點(diǎn)O成中心對稱的圖形△A2B2C2;
(3)在x軸上找一點(diǎn)P,使PA+PB的值最小,請直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】數(shù)學(xué)課堂上,為了學(xué)習(xí)構(gòu)成任意三角形三邊需要滿足的條件.甲組準(zhǔn)備3根本條,長度分別是3cm、8cm、13cm;乙組準(zhǔn)備3根本條,長度分別是4cm、6cm、12cm.老師先從甲組再從乙組分別隨機(jī)抽出一根本條,放在一起組成一組.
(1)用畫樹狀圖法(或列表法)分析,并列出各組可能.(畫樹狀圖或列表及列出可能時(shí)不用寫單位)
(2)現(xiàn)在老師也有一根本條,長度為5cm,與(1)中各組本條組成三角形的概率是多少?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】有一塊銳角三角形卡紙余料ABC,它的邊BC=120cm,高AD=80cm,為使卡紙余料得到充分利用,現(xiàn)把它裁剪成一個(gè)鄰邊之比為2:5的矩形紙片EFGH和正方形紙片PMNQ,裁剪時(shí),矩形紙片的較長邊在BC上,正方形紙片一邊在矩形紙片的較長邊EH上,其余頂點(diǎn)均分別在AB,AC上,具體裁剪方式如圖所示。
(1)求矩形紙片較長邊EH的長;
(2)裁剪正方形紙片時(shí),小聰同學(xué)是按以下方法進(jìn)行裁剪的:先沿著剩余料中與邊EH平行的中位線剪一刀,再沿過該中位線兩端點(diǎn)向邊EH所作的垂線剪兩刀,請你通過計(jì)算,判斷小聰?shù)募舴ㄊ欠裾_.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在⊙O中,AB,CD是直徑,BE是切線,B為切點(diǎn),連接AD,BC,BD.
(1)求證:△ABD≌△CDB;
(2)若∠DBE=37°,求∠ADC的度數(shù).
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