Question

【題目】將一個(gè)直角三角形紙片放置在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)，點(diǎn)，點(diǎn).是邊上的一動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)不與點(diǎn)、重合），沿著折疊該紙片，得點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn).

（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)在第一象限，且滿足時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo)；

（2）如圖2，當(dāng)為中點(diǎn)時(shí)，求的長(zhǎng)；

（3）當(dāng)時(shí)，直接寫(xiě)出點(diǎn)的坐標(biāo).

Answer 1

【答案】（1）點(diǎn)的坐標(biāo)為；（2）；（3）或.

【解析】

(1)由折疊的性質(zhì)得,再根據(jù)勾股定理求出，即可解答.

(2)根據(jù)三角形定理；證明四邊形是平行四邊形，即

(3)根據(jù)題意分情況設(shè)AB的解析式,再求得點(diǎn)P的坐標(biāo)即可.

（1）∵點(diǎn)，點(diǎn)，

∴，.

由折疊的性質(zhì)得.

∵，

∴.在中，

，

∴點(diǎn)的坐標(biāo)為.

（2）在中，，，

∴.

∵為中點(diǎn)，

∴，，

∴，

∴是等邊三角形，

∴，

∴.

由折疊性質(zhì)知，，，

∴，

∴.又，

∴四邊形是平行四邊形，

∴.

（3）或.

①當(dāng)點(diǎn)在直線上方時(shí)，由，得，

∴，

又，

∴，

∴在的平分線上，設(shè)，

∴，解得，

∴；

②當(dāng)點(diǎn)在直線下方時(shí)，可證得四邊形是菱形，過(guò)點(diǎn)作軸于，則，

∴，

解得，

∴.