【題目】如圖,在四邊形中,是對(duì)角線,,,延長(zhǎng)交的延長(zhǎng)線于點(diǎn).
(1)求證:;
(2)若,求的值;
(3)過點(diǎn)作,交的延長(zhǎng)線于點(diǎn),過點(diǎn)作,交的延長(zhǎng)線于點(diǎn),連接.設(shè),點(diǎn)是直線上的動(dòng)點(diǎn),當(dāng)的值最小時(shí),點(diǎn)與點(diǎn)是否可能重合?若可能,請(qǐng)說明理由并求此時(shí)的值(用含的式子表示);若不可能,請(qǐng)說明理由.
【答案】(1)見解析;(2);(3)可以重合,理由見解析,的最小值為.
【解析】
(1)運(yùn)用HL證明即可得到結(jié)論;
(2)根據(jù)已知條件可證出AB=BE,從而可得∠BAE=45°,再由角平分線的定義可得∠BAC的度數(shù);
(3)連接,連接,延長(zhǎng)交的延長(zhǎng)線于點(diǎn).證明點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于直線成軸對(duì)稱,也即點(diǎn)、點(diǎn)、點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn),這三點(diǎn)共線,也即的值最小時(shí),點(diǎn)與點(diǎn)重合.再證明為等邊三角形即可得到結(jié)論.
(1)證明:,
,,
.
.
(2),
又,
.
,
.
.
,
.
由(1)得,
.
.
(3)當(dāng)的值最小時(shí),點(diǎn)與點(diǎn)可以重合,理由如下:
,
,.
,
.
.
.
由(1)得,,
,
.即平分.
又,,
.
連接,連接,延長(zhǎng)交的延長(zhǎng)線于點(diǎn).
設(shè),則.
在中,.
在中,.
,
.
,
.
當(dāng)時(shí),
,,
.
.
即點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于直線成軸對(duì)稱,也即點(diǎn)、點(diǎn)、點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn),這三點(diǎn)共線,也即的值最小時(shí),點(diǎn)與點(diǎn)重合.
因?yàn)楫?dāng)時(shí),,也即.
所以,當(dāng)時(shí),取最小值時(shí)的點(diǎn)與點(diǎn)重合.
此時(shí)的最小值即為.
,,,
.
.
.
,,三點(diǎn)共線.
當(dāng)時(shí),在中,
.
∴ ∠EPA=60°.
為等邊三角形
.,
.
.
,
.
的最小值為.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,一艘輪船位于燈塔P的北偏東60°方向,與燈塔P的距離為80海里的A處,它沿正南方向航行一段時(shí)間后,到達(dá)位于燈塔P的南偏東45°方向的B處,求此時(shí)輪船所在的B處與燈塔P的距離.(參考數(shù)據(jù):≈2.449,結(jié)果保留整數(shù))
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)的圖象如圖,在下列代數(shù)式中(1)a+b+c>0;(2)﹣4a<b<﹣2a(3)abc>0;(4)5a﹣b+2c<0; 其中正確的個(gè)數(shù)為( 。
A. 1個(gè) B. 2個(gè) C. 3個(gè) D. 4個(gè)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖所示,中,,,.
點(diǎn)從點(diǎn)開始沿邊向以的速度移動(dòng),點(diǎn)從點(diǎn)開始沿邊向點(diǎn)以的速度移動(dòng).如果、分別從,同時(shí)出發(fā),線段能否將分成面積相等的兩部分?若能,求出運(yùn)動(dòng)時(shí)間;若不能說明理由.
若點(diǎn)沿射線方向從點(diǎn)出發(fā)以的速度移動(dòng),點(diǎn)沿射線方向從點(diǎn)出發(fā)以的速度移動(dòng),、同時(shí)出發(fā),問幾秒后,的面積為?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】我們定義:如果一個(gè)三角形一條邊上的高等于這條邊,那么這個(gè)三角形叫做“等高底”三角形,這條邊叫做這個(gè)三角形的“等底”.
(1)概念理解:
如圖1,在△ABC中,AC=6,BC=3,∠ACB=30°,試判斷△ABC是否是”等高底”三角形,請(qǐng)說明理由.
(2)問題探究:
如圖2,△ABC是“等高底”三角形,BC是”等底”,作△ABC關(guān)于BC所在直線的對(duì)稱圖形得到△A'BC,連結(jié)AA′交直線BC于點(diǎn)D.若點(diǎn)B是△AA′C的重心,求的值.
(3)應(yīng)用拓展:
如圖3,已知l1∥l2,l1與l2之間的距離為2.“等高底”△ABC的“等底”BC在直線l1上,點(diǎn)A在直線l2上,有一邊的長(zhǎng)是BC的倍.將△ABC繞點(diǎn)C按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)45°得到△A'B'C,A′C所在直線交l2于點(diǎn)D.求CD的值.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖①,四邊形OACB為長(zhǎng)方形,A(﹣6,0),B(0,4),直線l為函數(shù)y=﹣2x﹣5的圖象.
(1)點(diǎn)C的坐標(biāo)為 ;
(2)若點(diǎn)P在直線l上,△APB為等腰直角三角形,∠APB=90°,求點(diǎn)P的坐標(biāo);
小明的思考過程如下:
第一步:添加輔助線,如圖②,過點(diǎn)P作MN∥x軸,與y軸交于點(diǎn)N,與AC的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)M;
第二步:證明△MPA≌△NBP;
第三步:設(shè)NB=m,列出關(guān)于m的方程,進(jìn)而求得點(diǎn)P的坐標(biāo).
請(qǐng)你根據(jù)小明的思考過程,寫出第二步和第三步的完整解答過程;
(3)若點(diǎn)P在直線l上,點(diǎn)Q在線段AC上(不與點(diǎn)A重合),△QPB為等腰直角三角形,直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在△ABC中,∠BAC=90°,AD是高,BE是中線,CF是角平分線,CF交AD于點(diǎn)G,交BE于點(diǎn)H,下面說法中正確的序號(hào)是_____.
①△ABE的面積等于△BCE的面積;②∠AFG=∠AGF;③∠FAG=2∠ACF;④BH=CH.
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【題目】(模型建立)
(1)如圖1,等腰直角三角形ABC中,∠ACB=90°,CB=CA,直線ED經(jīng)過點(diǎn)C,過A作AD⊥ED于點(diǎn)D,過B作BE⊥ED于點(diǎn)E.
求證:△BEC≌△CDA;
(模型應(yīng)用)
(2)① 已知直線l1:y=x+8與坐標(biāo)軸交于點(diǎn)A、B,將直線l1繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)45至直線l2,如圖2,求直線l2的函數(shù)表達(dá)式;
② 如圖3,長(zhǎng)方形ABCO,O為坐標(biāo)原點(diǎn),點(diǎn)B的坐標(biāo)為(8,-6),點(diǎn)A、C分別在坐標(biāo)軸上,點(diǎn)P是線段BC上的動(dòng)點(diǎn),點(diǎn)D是直線y=-3x+6上的動(dòng)點(diǎn)且在y軸的右側(cè).若△APD是以點(diǎn)D為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形,請(qǐng)直接寫出點(diǎn)D的坐標(biāo).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,∠AOB=60°,OA=OB,動(dòng)點(diǎn)C從點(diǎn)O出發(fā),沿射線OB方向移動(dòng),以AC為邊在右側(cè)作等邊△ACD,連接BD,則BD所在直線與OA所在直線的位置關(guān)系是( 。
A. 平行 B. 相交 C. 垂直 D. 平行、相交或垂直
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