【題目】我們定義:如果一個三角形一條邊上的高等于這條邊,那么這個三角形叫做“等高底”三角形,這條邊叫做這個三角形的“等底”.
(1)概念理解:
如圖1,在△ABC中,AC=6,BC=3,∠ACB=30°,試判斷△ABC是否是”等高底”三角形,請說明理由.
(2)問題探究:
如圖2,△ABC是“等高底”三角形,BC是”等底”,作△ABC關(guān)于BC所在直線的對稱圖形得到△A'BC,連結(jié)AA′交直線BC于點D.若點B是△AA′C的重心,求的值.
(3)應用拓展:
如圖3,已知l1∥l2,l1與l2之間的距離為2.“等高底”△ABC的“等底”BC在直線l1上,點A在直線l2上,有一邊的長是BC的倍.將△ABC繞點C按順時針方向旋轉(zhuǎn)45°得到△A'B'C,A′C所在直線交l2于點D.求CD的值.
【答案】(1)△ABC是“等高底”三角形;(2);(3)CD的值為,2,2.
【解析】
(1)過A作AD⊥BC于D,則△ADC是直角三角形,∠ADC=90°,根據(jù)30°所對的直角邊等于斜邊的一半可得:根據(jù)“等高底”三角形的概念即可判斷.
(2)點B是的重心,得到設(shè) 則
根據(jù)勾股定理可得即可求出它們的比值.
(3)分兩種情況進行討論:①當時和②當時.
(1)△ABC是“等高底”三角形;
理由:如圖1,過A作AD⊥BC于D,則△ADC是直角三角形,∠ADC=90°,
∵∠ACB=30°,AC=6,
∴
∴AD=BC=3,
即△ABC是“等高底”三角形;
(2)如圖2,∵△ABC是“等高底”三角形,BC是“等底”,
∴
∵△ABC關(guān)于BC所在直線的對稱圖形是 ,
∴∠ADC=90°,
∵點B是的重心,
∴
設(shè) 則
由勾股定理得
∴
(3)①當時,
Ⅰ.如圖3,作AE⊥BC于E,DF⊥AC于F,
∵“等高底”△ABC的“等底”為BC,l1∥l2,l1與l2之間的距離為2,.
∴
∴BE=2,即EC=4,
∴
∵△ABC繞點C按順時針方向旋轉(zhuǎn)45°得到△A'B'C,
∴∠DCF=45°,
設(shè)
∵l1∥l2,
∴
∴ 即
∴
∴
Ⅱ.如圖4,此時△ABC等腰直角三角形,
∵△ABC繞點C按順時針方向旋轉(zhuǎn)45°得到,
∴是等腰直角三角形,
∴
②當時,
Ⅰ.如圖5,此時△ABC是等腰直角三角形,
∵△ABC繞點C按順時針方向旋轉(zhuǎn)45°得到△A'B'C,
∴
∴
Ⅱ.如圖6,作于E,則
∴
∴
∴△ABC繞點C按順時針方向旋轉(zhuǎn)45°,得到時,點A'在直線l1上,
∴∥l2,即直線與l2無交點,
綜上所述,CD的值為
科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,點C是線段AB上除點A、B外的任意一點,分別以AC、BC為邊在線段AB的同旁作等邊△ACD和等邊△BCE,連接AE交DC于M,連接BD交CE于N,連接MN.
(1)求證:AE=BD;
(2)請判斷△CMN的形狀,并說明理由。
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,在△ABC中,AB=AC=24厘米,BC=16厘米,點D為AB的中點,點P在線段BC上以4厘米/秒的速度由B點向C點運動,同時,點Q在線段CA上由C點向A點運動.當點Q的運動速度為_______厘米/秒時,能夠在某一時刻使△BPD與△CQP全等.
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【題目】 下圖是某學校全體教職工年齡的頻數(shù)分布直方圖(統(tǒng)計中采用“上限不在內(nèi)”的原則,如年齡為36歲統(tǒng)計在36≤x<38小組,而不在34≤x<36小組),根據(jù)圖形提供的信息,下列說法中錯誤的是
A.該學校教職工總?cè)藬?shù)是50人
B.年齡在40≤x<42小組的教職工人數(shù)占該學??cè)藬?shù)的20%
C.教職工年齡的中位數(shù)一定落在40≤x<42這一組
D.教職工年齡的眾數(shù)一定在38≤x<40這一組
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【題目】如圖,在△ABC中,∠C=90°,AB=10,BC=8,P、Q分別是AB、BC邊上的點,且AP=BQ=a (其中0<a<8).
(1)若PQ⊥BC,求a的值;
(2)若PQ=BQ,把線段CQ繞著點Q旋轉(zhuǎn)180°,試判別點C的對應點C’是否落在線段QB上?請說明理由.
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【題目】如圖,長方形ABCD中,P是AD上一動點,連接BP,過點A作BP的垂線,垂足為F,交BD于點E,交CD于點G.
(1)當AB=AD,且P是AD的中點時,求證:AG=BP;
(2)在(1)的條件下,求的值;
(3)類比探究:若AB=3AD,AD=2AP,的值為 .(直接填答案)
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【題目】在△ABC中,AB=10,AC=2,BC邊上的高AD=6,則另一邊BC等于_______.
【答案】10或6
【解析】試題解析:根據(jù)題意畫出圖形,如圖所示,
如圖1所示,AB=10,AC=2,AD=6,
在Rt△ABD和Rt△ACD中,
根據(jù)勾股定理得:BD==8,CD==2,
此時BC=BD+CD=8+2=10;
如圖2所示,AB=10,AC=2,AD=6,
在Rt△ABD和Rt△ACD中,
根據(jù)勾股定理得:BD==8,CD==2,
此時BC=BD-CD=8-2=6,
則BC的長為6或10.
【題型】填空題
【結(jié)束】
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【題目】在平面直角坐標系中,已知一次函數(shù)y=2x+1的圖象經(jīng)過P1(x1,y1)、P2(x2,y2)兩點,若x1<x2,則y1 ______ y2.(填“>”“<”或“=”)
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【題目】如圖,在等腰△ABC中,AB=BC=4,把△ABC沿AC翻折得到△ADC.則
(1)四邊形ABCD是 形;
(2)若∠B=120°,點P、E、F分別為線段AC、AD、DC上的任意1點,則PE+PF的最小值為 .
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】先閱讀下列的解答過程,然后再解答:
形如的化簡,只要我們找到兩個正數(shù)a、b,使a+b=m,ab=n,使得,,那么便有:(a>b)
例如:化簡
解:首先把化為,這里m=7,n=12,由于4+3=7,4×3=12
即,
∴=
(1)填空:= ,= ;
(2)化簡:.
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