Question

如圖，∠B=∠D=Rt∠，AB=CD=b，BC=DE=a，AC=c，
（1）請(qǐng)問(wèn)△ACE是否為等腰直角三角形？請(qǐng)說(shuō)明理由．
（2）請(qǐng)你通過(guò)兩種不同方法計(jì)算梯形ABDE的面積，并利用計(jì)算的結(jié)果驗(yàn)證勾股定理a²+b²=c²
（3）你能運(yùn)用上面圖形中若干個(gè)Rt△ABC構(gòu)造出另一種證明勾股定理的圖形嗎？請(qǐng)畫(huà)出構(gòu)造后的示意圖．（無(wú)需證明）

Answer 1

解：（1）在Rt△ABC與Rt△CDE中，
∵，
∴Rt△ABC≌Rt△CDE（SAS），
∴∠ACB=∠CED，AC=CE=c，
∵∠CED+∠ECD=90°，
∴∠ACB+∠ECD=90°，
∴∠ACE=90°，
∴△ACE是等腰直角三角形；

（2）∵S梯形=（a+b）（a+b）=（a+b）²，S_梯形=2×ab+c²，
∴（a+b）²=2×ab+c²，
整理得，a²+b²=c²；

（3）如圖所示，此題答案不唯一．
分析：（1）利用“SAS”證明Rt△ABC與Rt△CDE全等，再根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)角相等可得∠ACB=∠CED，全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得AC=CE，然后求出∠ACE=90°，從而得證；
（2）根據(jù)圖形的面積可以用梯形的面積求解，也可以用三個(gè)直角三角形的面積求解，然后整理即可得解；
（3）可以拼接成以兩直角邊的和為邊長(zhǎng)的大正方形，也可以拼接成以斜邊為邊長(zhǎng)的大正方形解答．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了勾股定理的證明，全等三角形的判定與性質(zhì)，此類題目最常用的方法是根據(jù)圖形的面積可以用不同列法表示，然后根據(jù)同一個(gè)圖形的面積相等列式整理從而得證．