Question

已知關于x的方程x²+x+a-a²=0和x²-（3a-1）x+（2a+1）（a-2）=0．問是否存在這樣的a值，使得第一個方程的兩實根的平方和等于第二個方程的一個整數(shù)根？若存在，求出這樣的a值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

解：第一個方程x²+x+a-a²=0，即有（x+a）（x+1-a）=0，
∴x₁=-a，x₂=a-1，
故x₁²+x₂²=a²+（a-1）²=2a²-2a+1，
由第二方程x²-（3a-1）x+（2a+1）（a-2）=0，
得[x-（2a+1）][x-（a-2）]=0，
x₃=2a+1，x₄=a-2，
若x₃為整數(shù)，則2a²-2a+1=2a+1，解得a=0或2，此時x₃=1或5，
若x₄為整數(shù)，則2a²-2a+1=a-2，即2a²-3a-3=0，此方程無實數(shù)根，
綜上可知，當a=0或2時，第一個方程的兩個實數(shù)根的平方和等于第二個方程的一個整數(shù)根．
分析：可把兩個方程都進行因式分解，得到用字母表示的未知數(shù)的值，根據(jù)第一個方程的兩實根的平方和等于第二個方程的一個整數(shù)根求解．
點評：解決本題的關鍵是根據(jù)所給條件得到兩根，再根據(jù)題中所給的關鍵話得相應的等量關系．