【題目】如圖所示,在△ACB中,∠ACB=90゜,CD⊥AB于D.
(1)求證:∠ACD=∠B;
(2)若AF平分∠CAB分別交CD、BC于E、F , 求證:∠CEF=∠CFE.
【答案】
(1)
證明:∵∠ACB=90゜,CD⊥AB于D,
∴∠ACD+∠BCD=90°,∠B+∠BCD=90°,
∴∠ACD=∠B;
(2)
在Rt△AFC中,∠CFA=90°-∠CAF,
同理在Rt△AED中,∠AED=90°-∠DAE.
又∵AF平分∠CAB,
∴∠CAF=∠DAE,
∴∠AED=∠CFE,
又∵∠CEF=∠AED,
∴∠CEF=∠CFE.
【解析】(1)由于∠ACD與∠B都是∠BCD的余角,根據同角的余角相等即可得(2)根據直角三角形兩銳角互余得出∠CFA=90°-∠CAF , ∠AED=90°-∠DAE , 再根據角平分線的定義得出∠CAF=∠DAE , 然后由對頂角相等的性質,等量代換即可證明∠CEF=∠CFE.
【考點精析】掌握解直角三角形是解答本題的根本,需要知道解直角三角形的依據:①邊的關系a2+b2=c2;②角的關系:A+B=90°;③邊角關系:三角函數的定義.(注意:盡量避免使用中間數據和除法).
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【題目】如圖,在Rt△ABC中,∠C=30°,以直角頂點A為圓心,AB長為半徑畫弧交BC于點D,過D作DE⊥AC于點E.若DE=a,則△ABC的周長用含a的代數式表示為 .
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【題目】如圖,斜面AC的坡度(CD與AD的比)為1:2,AC=3 米,坡頂有旗桿BC , 旗桿頂端B點與A點有一條彩帶相連 . 若AB=10米,則旗桿BC的高度為( )
A.5米
B.6米
C.8米
D.(3+ )米
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【題目】如圖是一座人行天橋的示意圖,天橋的高度是10米,CB⊥DB , 坡面AC的傾斜角為45° . 為了方便行人推車過天橋,市政部門決定降低坡度,使新坡面DC的坡度為i= :3 . 若新坡角下需留3米寬的人行道,問離原坡角(A點處)10米的建筑物是否需要拆除?(參考數據: ≈1.414, ≈1.732)
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【題目】如圖,△ABC中,∠A=100°,BI、CI分別平分∠ABC,∠ACB,則∠BIC=________,若BM、CM分別平分∠ABC,∠ACB的外角平分線,則∠M=__________.
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【題目】湘潭市繼2017年成功創(chuàng)建全國文明城市之后,又準備爭創(chuàng)全國衛(wèi)生城市.某小區(qū)積極響應,決定在小區(qū)內安裝垃圾分類的溫馨提示牌和垃圾箱,若購買2個溫馨提示牌和3個垃圾箱共需550元,且垃圾箱的單價是溫馨提示牌單價的3倍.
(1)求溫馨提示牌和垃圾箱的單價各是多少元?
(2)該小區(qū)至少需要安放48個垃圾箱,如果購買溫馨提示牌和垃圾箱共100個,且費用不超過10000元,請你列舉出所有購買方案,并指出哪種方案所需資金最少?最少是多少元?
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【題目】請回答下列問題:
(1)敘述三角形中位線定理,并運用平行四邊形的知識證明;
(2)運用三角形中位線的知識解決如下問題:如圖,在四邊形ABCD中,AD∥BC , E、F分別是AB , CD的中點,求證:EF= (AD+BC)
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【題目】如圖,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=5cm,BC=12cm,將△ABC繞點B順時針旋轉60°,得到△BDE,連接DC交AB于點F,則△ACF與△BDF的周長之和為cm.
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