Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A（0，6），點(diǎn)B是x軸正半軸上的一個動點(diǎn)，連接AB，取AB的中點(diǎn)M，將線段MB繞著點(diǎn)B按順時針方向旋轉(zhuǎn)90°，得到線段BC．過點(diǎn)B作x軸的垂線交直線AC于點(diǎn)D．設(shè)點(diǎn)B坐標(biāo)是（t，0）．
（1）當(dāng)t=4時，求直線AB的解析式；
（2）用含t的代數(shù)式表示點(diǎn)C的坐標(biāo)及△ABC的面積．

Answer 1

分析：（1）當(dāng)t=4時，B（4，0），設(shè)直線AB的解析式為y=kx+b．把A（0，6），B（4，0）代入解析式即可求出未知數(shù)的值，從而求出其解析式；
（2）過點(diǎn)C作CE⊥x軸于點(diǎn)E，由∠AOB=∠CEB=90°，∠ABO=∠BCE，得△AOB∽△BEC．根據(jù)相似三角形的對應(yīng)邊的比相等，即可利用t表示得到BE、CE的長度，C的坐標(biāo)，然后根據(jù)S_△ABC=S_梯形AOEC-S_△AOB-S_△BEC得到函數(shù)的解析式．

解答：解：（1）當(dāng)t=4時，B（4，0），
設(shè)直線AB的解析式為y=kx+b．
把A（0，6），B（4，0）代入得：

b=6 4k+b=0

，
解得：

k- 3 2 b=6

，
則直線AB的解析式是：y=-

3

2

x+6；

（2）過C作CE⊥x軸于點(diǎn)E．
∵∠AOB=∠CEB=90°，∠ABO=∠BCE，
∴△AOB∽△BEC，
∴

BE

AO

=

CE

BO

=

BC

AB

=

1

2

，
∴BE=

1

2

AO=3，CE=

1

2

OB=

t

2

，
∴點(diǎn)C的坐標(biāo)是（t+3，

t

2

）．
S_梯形AOEC=

1

2

OE•（AO+EC）=

1

2

（t+3）（6+

t

2

）=

1

4

t²+

15

4

t+9，
S_△AOB=

1

2

AO•OB=

1

2

×6•t=3t，
S_△BEC=

1

2

BE•CE=

1

2

×3×

t

2

=

3

4

t，
∴S_△ABC=S_梯形AOEC-S_△AOB-S_△BEC
=

1

4

t²+

15

4

t+9-3t-

3

4

t
=

1

4

t²+9．

點(diǎn)評：本題考查了待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式，相似三角形的判定與性質(zhì)，正確求得△ABC的面積是關(guān)鍵．