Question

【題目】問(wèn)題探究：

1．新知學(xué)習(xí)

若把將一個(gè)平面圖形分為面積相等的兩個(gè)部分的直線叫做該平面圖形的“面線”，其“面線”被該平面圖形截得的線段叫做該平面圖形的“面徑”（例如圓的直徑就是圓的“面徑”）．

2．解決問(wèn)題

已知等邊三角形ABC的邊長(zhǎng)為2．

（1）如圖一，若AD⊥BC，垂足為D，試說(shuō)明AD是△ABC的一條面徑，并求AD的長(zhǎng)；

（2）如圖二，若ME∥BC，且ME是△ABC的一條面徑，求面徑ME的長(zhǎng)；

（3）如圖三，已知D為BC的中點(diǎn)，連接AD，M為AB上的一點(diǎn)（0＜AM＜1），E是DC上的一點(diǎn)，連接ME，ME與AD交于點(diǎn)O，且S△MOA=S△DOE．

①求證：ME是△ABC的面徑；

②連接AE，求證：MD∥AE；

（4）請(qǐng)你猜測(cè)等邊三角形ABC的面徑長(zhǎng)l的取值范圍（直接寫(xiě)出結(jié)果）

Answer 1

【答案】(1)AD=;(2)ME=;(3)詳見(jiàn)解析；（3)≤l≤．

【解析】

試題分析：（1）根據(jù)等腰三角形三線合一即可證明，利用直角三角形30°性質(zhì)，即可求出AD．（2）根據(jù)相似三角形性質(zhì)面積比等于相似比的平方，即可解決問(wèn)題．（3）如圖三中，作MN⊥AE于N，DF⊥AE于F，先證明MN=DF，推出四邊形MNFD是平行四邊形即可．

（4）如圖四中，作MF⊥BC于F，設(shè)BM=x，BE=y，求出EM，利用不等式性質(zhì)證明ME≥即可解決問(wèn)題．

試題解析：（1）如圖一中，

∵AB=AC=BC=2，AD⊥BC，

∴BD=DC，

∴S△ABD=S△ADC，

∴線段AD是△ABC的面徑．

∵∠B=60°，

∴sin60°=，

∴，

∴AD=．

（2）如圖二中，

∵ME∥BC，且ME是△ABC的一條面徑，

∴△AME∽△ABC，=，

∴，

∴ME=．

（3）如圖三中，作MN⊥AE于N，DF⊥AE于F．

∵S△MOA=S△DOE，

∴S△AEM=S△AED，

∴AEMN=AEDF，

∴MN=DF，

∵MN∥DF，

∴四邊形MNFD是平行四邊形，

∴DM∥AE．

（4）如圖四中，作MF⊥BC于F，設(shè)BM=x，BE=y，

∵DM∥AE，

∴，

∴，

∴xy=2，

在RT△MBF中，∵∠MFB=90°，∠B=60°，BM=x，

∴BF=x，MF=x，

∴ME=

∴ME≥，

∵ME是等邊三角形面徑，AD也是等邊三角形面積徑，

∴等邊三角形ABC的面徑長(zhǎng)l的取值范圍≤l≤．