Question

【題目】如圖1，小紅家陽(yáng)臺(tái)上放置了一個(gè)曬衣架．如圖2是曬衣架的側(cè)面示意圖，立桿AB、CD相交于點(diǎn)O，B、D兩點(diǎn)立于地面，經(jīng)測(cè)量：AB=CD=136cm，OA=OC=51cm，OE=OF=34cm，現(xiàn)將曬衣架完全穩(wěn)固張開(kāi)，扣鏈EF成一條直線，且EF=32cm．

（1）求證：AC∥BD；

（2）求扣鏈EF與立桿AB的夾角∠OEF的度數(shù)（精確到0.1°）；

（3）小紅的連衣裙穿在衣架后的總長(zhǎng)度達(dá)到122cm，垂掛在曬衣架上是否會(huì)拖落到地面？請(qǐng)通過(guò)計(jì)算說(shuō)明理由．

（參考數(shù)據(jù)：sin61.9°≈0.882，cos61.9°≈0.471，tan61.9°≈0.553；可使用科學(xué)計(jì)算器）

Answer 1

【答案】（1）證明參見(jiàn)解析；(2) 61.9°；(3) 小紅的連衣裙會(huì)拖落到地面．理由參見(jiàn)解析.

【解析】

試題分析：（1）根據(jù)等角對(duì)等邊和對(duì)頂角相等得出∠OAC=∠OCA=（180-∠AOC）和∠OBD=∠ODB=（180-∠BOD），∠AOC=∠BOD進(jìn)而利用平行線的判定得出即可；或利用三角形相似和平行線判定可得出結(jié)論；（2）首先過(guò)點(diǎn)O作OM⊥EF于點(diǎn)M，則EM=16cm，利用cos∠OEF=0.471，即可得出∠OEF的度數(shù)；（3）首先證明Rt△OEM∽Rt△ABH，進(jìn)而得出AH的長(zhǎng)即可．

試題解析：（1）方法一：∵AB、CD相交于點(diǎn)O，∴∠AOC=∠BOD，∵OA=OC，∴∠OAC=∠OCA=（180-∠AOC），同理可證：∠OBD=∠ODB=（180-∠BOD），∴∠OAC=∠OBD，∴AC∥BD；方法二：AB=CD=136cm，OA=OC=51cm，∴OB=OD=85cm，∴，又∵∠AOC=∠BOD，∴△AOC∽△BOD， ∴∠OAC=∠OBD；∴AC∥BD；（2）在△OEF中，OE=OF=34cm，EF=32cm；過(guò)點(diǎn)O作OM⊥EF于點(diǎn)M，則EM=16cm；∴cos∠OEF=

0.471，用科學(xué)計(jì)算器求得∠OEF=61.9°；（3）方法一：小紅的連衣裙會(huì)拖落到地面；在Rt△OEM中，OM== =30cm，過(guò)點(diǎn)A作AH⊥BD于點(diǎn)H，同（1）可證：EF∥BD，∴∠ABH=∠OEM，則Rt△OEM∽Rt△ABH，∴,AH=cm，因?yàn)樾〖t的連衣裙垂掛在衣架后的總長(zhǎng)度122cm＞曬衣架的高度AH=120cm．所以小紅的連衣裙會(huì)拖落到地面．方法二：小紅的連衣裙會(huì)拖落到地面；同（1）可證：EF∥BD，∴∠ABD=∠OEF=61.9°；過(guò)點(diǎn)A作AH⊥BD于點(diǎn)H，在Rt△ABH中sin∠ABD=，AH=AB×sin∠ABD=136×sin61.9°=136×0.882≈120.0cm，因?yàn)樾〖t的連衣裙垂掛在衣架后的總長(zhǎng)度122cm＞曬衣架的高度AH=120cm．所以小紅的連衣裙會(huì)拖落到地面．