Question

二次函數(shù)y=4x²-4ax+a²-2a+2（0≤x≤2）的最小值為3，則a的值為

a=1-

2

或5+

10

．

Answer 1

分析：先將拋物線的解析式化為頂點(diǎn)式為y=4（x-

1

2

a）²-2a+2，分三種情況考慮：對(duì)稱軸在x=0的左邊，對(duì)稱軸在0到2的之間，對(duì)稱軸在x=2的右邊，當(dāng)對(duì)稱軸在x=0的左邊和對(duì)稱軸在x=2的右邊時(shí)，可根據(jù)二次函數(shù)的增減性來(lái)判斷函數(shù)取最小值時(shí)x的值，然后把此時(shí)的x的值與y=3代入二次函數(shù)解析式即可求出a的值；當(dāng)對(duì)稱軸在0到2的之間時(shí)，頂點(diǎn)為最低點(diǎn)，令頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)等于3，列出關(guān)于a的方程，求出方程的解即可得到滿足題意a的值．

解答：解：∵y=4x²-4ax+a²-2a+2，
∴y=4（x-

1

2

a）²-2a+2，
分三種情況：
當(dāng)

1

2

a＜0即a＜0時(shí)，二次函數(shù)y=4x²-4ax+a²-2a+2在0≤x≤2上為增函數(shù)，
所以當(dāng)x=0時(shí)，y有最小值為3，把（0，3）代入y=4x²-4ax+a²-2a+2中解得：a=1-

2

，1+

2

（舍去）；
當(dāng)

1

2

a＞2即a＞4時(shí)，二次函數(shù)y=4x²-4ax+a²-2a+2在0≤x≤2上為減函數(shù)，
所以當(dāng)x=2時(shí)，y有最小值為3，把（2，3）代入y=4x²-4ax+a²-2a+2中解得：a=5+

10

，5-

10

舍去；
當(dāng)0≤

1

2

a≤2即0≤a≤4時(shí)，此時(shí)拋物線的頂點(diǎn)為最低點(diǎn)，
所以頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)為

16(a 2-2a+2)-16a2

16

=3，解得：a=-

1

2

，舍去．
綜上，a的值為a=1-

2

，a=5+

10

．
故答案為：1-

2

，5+

10

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查二次函數(shù)的增減性和二次函數(shù)最值的求法，是一道綜合題．求二次函數(shù)最值時(shí)應(yīng)注意頂點(diǎn)能否取到．