Question

如圖，在Rt△ABC中，∠A=90°，O是BC邊上一點，以O(shè)為圓心的半圓與AB邊相切于點D，與AC、BC邊分別交于點E、F、G，連接OD，已知∠B=60°，BD=

3

，AE=3．
（1）求⊙O的半徑OD；
（2）求證：AE是⊙O的切線；
（3）求圖中陰影部分的面積．

Answer 1

考點：切線的判定,扇形面積的計算

專題：

分析：（1）由AB為圓O的切線，利用切線的性質(zhì)得到OD垂直于AB，在直角三角形BDO中，利用銳角三角函數(shù)定義，根據(jù)tan∠B及BD的值，求出OD的值即可；
（2）連接OE，由AE=OD=3，且OD與AE平行，利用一組對邊平行且相等的四邊形為平行四邊形，根據(jù)平行四邊形的對邊平行得到OE與AD平行，再由DA與AE垂直得到OE與AC垂直，即可得證；
（3）陰影部分的面積=三角形BOD的面積-扇形DOF的面積，求出即可．

解答：解：（1）∵AB與圓O相切，
∴OD⊥AB，
在Rt△BDO中，∠B=60°，BD=

3

，
∴tanB=

OD

BD

，
∴OD=BD•tan60°=3；

（2）連接OE，
∵AE=OD=3，AE∥OD，
∴四邊形AEOD為平行四邊形，
∴AD∥EO，
∵DA⊥AE，
∴OE⊥AC，
又∵OE為圓的半徑，
∴AE為圓O的切線；

（3）在Rt△BDO中，BD=

3

，OD=3，
∴S_△OBD=

1

2

BD•OD=

1

2

×

3

×3=

3 3

2

，
∵∠B=60°，
∴∠FOD=30°，
∴S_扇形=

30π×32

360

=

3

4

π，
∴S_陰影=S_△OBD-S_扇形FOD=

3 3

2

-

3

4

π=

6 3 -3π

4

．

點評：此題考查了切線的判定與性質(zhì)，扇形的面積，銳角三角函數(shù)定義，平行四邊形的判定與性質(zhì)，以及平行線的性質(zhì)，熟練掌握切線的判定與性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．