Question

已知∠AOB=45°，P是邊OA上一點(diǎn)，OP=4，以點(diǎn)P為圓心畫(huà)圓，圓P交OA于點(diǎn)C（點(diǎn)P在O、C之間，如圖）．點(diǎn)Q是直線OB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連PQ，交圓P于點(diǎn)D，已知，當(dāng)OQ=7時(shí)，=．
（1）求圓P半徑長(zhǎng)；
（2）當(dāng)點(diǎn)Q在射線OB上運(yùn)動(dòng)時(shí)，以點(diǎn)Q為圓心，OQ為半徑作圓Q，若圓Q與圓P相切，試求OQ的長(zhǎng)度；
（3）連CD并延長(zhǎng)交直線OB于點(diǎn)E，是否存在這樣的點(diǎn)Q，使得以O(shè)、C、E為頂點(diǎn)的三角形與△OPQ相似？若存在，試確定Q點(diǎn)的位置；若不存在，試說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）首先過(guò)點(diǎn)P作PG⊥OB，垂足為G，由∠AOB=45°，OP=4，根據(jù)勾股定理，即求得PG與OG的值，又由OQ=7，=，即可求得PD的長(zhǎng)；
（2）首先設(shè)OQ=x，根據(jù)勾股定理可得PQ=，然后分別從⊙P與⊙Q外切或外切去分析求解即可求得答案；
（3）首先易得∠POQ=∠COE，∠OPQ=2∠OCE≠∠OCE，可得要使△OPQ與△OCE相似，只可能∠OQP=∠OCE，然后分別從當(dāng)點(diǎn)Q在射線OB上時(shí)與當(dāng)點(diǎn)Q在射線OB的反向延長(zhǎng)線上時(shí)去分析求解即可求得答案．
解答：解：（1）過(guò)點(diǎn)P作PG⊥OB，垂足為G，
∵∠AOB=45°，OP=4，
∴PG=OG=4．  …（1分）
又∵OQ=7，
∴GQ=3． 
從而PQ=5，…（1分）
∵，
∴PD=2，
即⊙的半徑長(zhǎng)為2．…（1分）

（2）設(shè)OQ=x，則PQ==．    （1分）
當(dāng)⊙P與⊙Q外切時(shí)，
PQ=OQ+2，即=x+2，…（1分）
解得：x=．經(jīng)檢驗(yàn)是方程的根，且符合題意，…（1分）
當(dāng)⊙P與⊙Q 內(nèi)切時(shí)，
PQ=OQ-2，即=x-2，…（1分）
解得：x=7．經(jīng)檢驗(yàn)是方程的根，且符合題意，…（1分）
所以，當(dāng)OQ的長(zhǎng)度為 或7時(shí)，⊙P與⊙Q相切．

（3）∵∠POQ=∠COE，
∵PC=PD，
∴∠PDC=∠PCD，從而∠OPQ=2∠OCE≠∠OCE，
∴要使△OPQ與△OCE相似，只可能∠OQP=∠OCE，…（1分）
當(dāng)點(diǎn)Q在射線OB上時(shí)，
∠OQP=45°，∠OPQ=90°．
∴OQ=8．…（2分）
當(dāng)點(diǎn)Q在射線OB的反向延長(zhǎng)線上時(shí)，
∠OQP=15°，∠OPQ=30°．
過(guò)點(diǎn)Q作QH⊥OP，垂足為H，
則 PH=QH，
設(shè) QH=t，則t+4=t，
解得：t=2+2，
∴OQ=t=4+4．…（2分）
綜上，點(diǎn)Q在射線OB上，且OQ=8時(shí)，以O(shè)、C、E為頂點(diǎn)的三角形與△OPQ相似；或者點(diǎn)Q在射線OB的反向延長(zhǎng)線上，且OQ=4+4時(shí)，以O(shè)、C、E為頂點(diǎn)的三角形與△OPQ相似．
點(diǎn)評(píng)：此題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理、圓與圓的位置關(guān)系等知識(shí)．此題綜合性很強(qiáng)，難度較大，解題的關(guān)鍵注意方程思想與數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．