順次連接對角線相等的四邊形各邊中點,所得四邊形是( )
A.矩形
B.平行四邊形
C.菱形
D.任意四邊形
【答案】
分析:順次連接對角線相等的四邊形各邊中點,所得四邊形是菱形,理由為:根據(jù)題意畫出四邊形ABCD,E,F(xiàn),G,H分別為各邊的中點,寫出已知,求證,由E,H分別為AB,AD的中點,得到EH為三角形ABD的中位線,根據(jù)三角形的中位線定理得到EH平行于BD,且等于BD的一半,同理FG平行于BD,且等于BD的一半,可得出EH與FG平行且相等,根據(jù)一組對邊平行且相等的四邊形為平行四邊形得出EFGH為平行四邊形,再由EF為三角形ABC的中位線,得出EF等于AC的一半,由EH等于BD的一半,且AC=BD,可得出EH=EF,根據(jù)鄰邊相等的平行四邊形為菱形可得證.
解答:解:順次連接對角線相等的四邊形各邊中點,所得四邊形是菱形,
如圖所示:
已知:E,F(xiàn),G,H分別為四邊形ABCD各邊的中點,且AC=BD,
求證:四邊形EFGH為菱形,
證明:∵E,F(xiàn),G,H分別為四邊形ABCD各邊的中點,
∴EH為△ABD的中位線,F(xiàn)G為△CBD的中位線,
∴EH∥BD,EH=
BD,F(xiàn)G∥BD,F(xiàn)G=
BD,
∴EH∥FG,EH=FG=
BD,
∴四邊形EFGH為平行四邊形,
又EF為△ABC的中位線,
∴EF=
AC,又EH=
BD,且AC=BD,
∴EF=EH,
∴四邊形EFGH為菱形.
故選C
點評:此題考查了三角形的中位線定理,平行四邊形的判定,以及菱形的判定,利用了數(shù)形結(jié)合及等量代換的思想,靈活運(yùn)用三角形中位線定理是解本題的關(guān)鍵.