Question

如圖，AB為⊙O的直徑，射線AP交⊙O于C點(diǎn)，∠PCO的平分線交⊙O于D點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)D作DE⊥AP交AP于E點(diǎn)．
（1）求證：DE為⊙O的切線；
（2）若DE=3，AC=8，求直徑AB的長(zhǎng)．

Answer 1

考點(diǎn)：切線的判定,勾股定理,垂徑定理

專題：

分析：（1）連接OD若要證明DE為⊙O的切線，只要證明∠DOE=90°即可；
（2）過(guò)點(diǎn)O作OF⊥AP于F，利用垂徑定理以及勾股定理計(jì)算即可．

解答：（1）證明：連接OD．
∵OC=OD，
∴∠1=∠3．
∵CD平分∠PCO，
∴∠1=∠2．
∴∠2=∠3．
∵DE⊥AP，
∴∠2+∠EDC=90°．
∴∠3+∠EDC=90°．
即∠ODE=90°．
∴OD⊥DE．
∴DE為⊙O的切線．
（2）過(guò)點(diǎn)O作OF⊥AP于F．
由垂徑定理得，AF=CF．
∵AC=8，
∴AF=4．
∵OD⊥DE，DE⊥AP，
∴四邊形ODEF為矩形．
∴OF=DE．
∵DE=3，
∴OF=3．
在Rt△AOF中，OA²=OF²+AF²=4²+3²=25．
∴OA=5．
∴AB=2OA=10．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了圓的切線的判定和性質(zhì)、垂徑定理的運(yùn)用、矩形的判定和性質(zhì)以及勾股定理的運(yùn)用，題目的綜合性很強(qiáng)，難度中等，是一道不錯(cuò)的中考題．