Question

如圖，二次函數(shù)y1=ax2+bx+c(a≠0)的圖象與一次函數(shù)y₂=x+b的圖象交于A（0，1），B兩點(diǎn)．C（1，0）為二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)．
（1）求二次函數(shù)y1=ax2+bx+c(a≠0)的解析式；
（2）定義函數(shù)f：“當(dāng)自變量x任取一值時(shí)，x對(duì)應(yīng)的函數(shù)值分別為y₁或y₂，若y₁≠y₂，函數(shù)f的函數(shù)值等于y₁、y₂中的較小值；若y₁=y₂，函數(shù)f的函數(shù)值等于y₁（或y₂）．”當(dāng)直線y3=kx-

1

2

（k＞0）與函數(shù)f的圖象只有兩個(gè)交點(diǎn)時(shí)，求k的值．

Answer 1

考點(diǎn)：待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式,一次函數(shù)的性質(zhì),二次函數(shù)的性質(zhì)

專題：計(jì)算題

分析：（1）設(shè)拋物線解析式為y=a（x-1）²，將A坐標(biāo)代入求出a的值，即可確定出解析式；
（2）聯(lián)立拋物線與一次函數(shù)解析式求出B坐標(biāo)，分①直線y=kx-

1

2

與直線AB：y=x+1平行；②直線y=kx-

1

2

過點(diǎn)B（3，4）；③直線y=kx-

1

2

與二次函數(shù)y=x²-2x+1的圖象只有一個(gè)交點(diǎn)，三種情況求出k的值即可．

解答：解：（1）設(shè)拋物線解析式為y=a（x-1）²，
由拋物線過點(diǎn)A（0，1），可得y=x²-2x+1；
（2）將y=x²-2x+1與y=x+1聯(lián)立解得：x=0，y=1或x=3，y=4，即B（3，4），
直線y=kx-

1

2

（k＞0）與函數(shù)f的圖象只有兩個(gè)交點(diǎn)共有三種情況：
①直線y=kx-

1

2

與直線AB：y=x+1平行，此時(shí)k=1；
②直線y=kx-

1

2

過點(diǎn)B（3，4），此時(shí)k=

3

2

；
③直線y=kx-

1

2

與二次函數(shù)y=x²-2x+1的圖象只有一個(gè)交點(diǎn)，
此時(shí)有

y=kx- 1 2 y=x2-2x+1.

，
消元y得：x²-2x+1=kx-

1

2

，
由△=0，可得k₁=

6

-2，k₂=-

6

-2（舍去），
綜上：k=1，k=

3

2

，k=

6

-2．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，以及二次函數(shù)的性質(zhì)，熟練掌握待定系數(shù)法是解本題的關(guān)鍵．