Question

如圖，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AD=1，AB=2，DC=2，點P在邊BC上運動（與B、C不重合），設(shè)PC=x．若以D為圓心、為半徑作⊙D，以P為圓心、x為半徑作⊙P，則當x=________時，⊙D與⊙P相切．

Answer 1

或
分析：分兩種情況考慮，當圓P與圓D外切時，如圖所示，過D作DE垂直于BC，可得出四邊形ABED為矩形，根據(jù)矩形的對邊相等可得出AB=DE=2，在直角三角形DEC中，由DC及ED的長，利用勾股定理求出EC的長，再由EC-PC表示出EP，又圓D與圓P外切，圓心距等于兩半徑相加，由兩圓的半徑相加表示出DP，在直角三角形DEP中，利用勾股定理列出關(guān)于x的方程，求出方程的解得到x的值；當圓P與圓D內(nèi)切時，如圖所示，過D作DE垂直于BC，可得出四邊形ABED為矩形，根據(jù)矩形的對邊相等可得出AB=DE=2，在直角三角形DEC中，由DC及ED的長，利用勾股定理求出EC的長，再由EC-PC表示出EP，又圓D與圓P外切，圓心距等于兩半徑相減，由兩圓的半徑相減表示出DP，在直角三角形DEP中，利用勾股定理列出關(guān)于x的方程，求出方程的解得到x的值，綜上，得到所有滿足題意的x的值．
解答：當圓P與圓D外切時，如圖所示：

過D作DE⊥BC，交BC于點E，可得∠DEP=90°，
∵直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，
∴∠A=∠B=90°，
∴四邊形ABED為矩形，又AD=1，AB=2，
∴AB=DE=2，AD=BE=1，
在Rt△CED中，DC=2，DE=2，
根據(jù)勾股定理得：EC==2，
∴EP=EC-PC=2-x，
∵圓D與圓P外切，圓D半徑為，圓P半徑為x，
∴DP=+x，
在Rt△DEP中，根據(jù)勾股定理得：DP²=DE²+EP²，
即（+x）²=2²+（2-x）²，
解得：x=；
當圓P與圓D內(nèi)切時，如圖所示：

過D作DE⊥BC，交BC于點E，可得∠DEP=90°，
∵直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，
∴∠A=∠B=90°，
∴四邊形ABED為矩形，又AD=1，AB=2，
∴AB=DE=2，AD=BE=1，
在Rt△CED中，DC=2，DE=2，
根據(jù)勾股定理得：EC==2，
∴EP=EC-PC=2-x，
∵圓D與圓P內(nèi)切，圓D半徑為，圓P半徑為x，
∴DP=x-，
在Rt△DEP中，根據(jù)勾股定理得：DP²=DE²+EP²，
即（x-）²=2²+（2-x）²，
解得：x=，
綜上，當x=或時，圓D與圓P相切．
故答案為：或
點評：此題考查了相切兩圓的性質(zhì)，矩形的判定與性質(zhì)，勾股定理，利用了分類討論的數(shù)學(xué)思想，熟練掌握性質(zhì)及定理是解本題的關(guān)鍵，同時本題x的值有兩解，注意不要漏解．