Question

【題目】如圖，已知拋物線y=﹣ +bx+c圖象經(jīng)過A（﹣1，0），B（4，0）兩點．

（1）求拋物線的解析式；
（2）若C（m，m﹣1）是拋物線上位于第一象限內(nèi)的點，D是線段AB上的一個動點（不與A、B重合），過點D分別作DE∥BC交AC于E，DF∥AC交BC于F．
①求證：四邊形DECF是矩形；
②試探究：在點D運動過程中，DE、DF、CF的長度之和是否發(fā)生變化？若不變，求出它的值，若變化，試說明變化情況．

Answer 1

【答案】
（1）

解：因為拋物線與x軸交于（﹣1，0）（4，0），可以假設(shè)y=a（x+1）（x﹣4）

∵a=﹣ ，

∴y=﹣ （x+1）（x﹣4）

即y=﹣ x2+ x+2

（2）

解：①證明：把C（m，m﹣1）代入y=﹣ x2+ x+2得

m﹣1=﹣ m2+ m+2，

∴m1=﹣2，m2=3，

∵C在第一象限，

∴ ，∴m＞1，

∴m=﹣2（不符合題意，舍），m=3，

∴C的坐標是（3，2），

∵BC∥DE DF∥AC，

∴四邊形DECF是平行四邊形，

∵AB2=25 AC2=20 BC2=5

∴AB2=AC2+BC2，

∴∠ACB=90°，

∴四邊形BECF是矩形．

②∵DE∥BC，

∴△AED∽△ACB，

∴ = （1）．

同理，得

= （2），

⑴+（2）得

+ = =1，

∵AC=2 ，BC= ，CF=ED，

∴ + =1，

即2ED+DF=2 ，

∴ED+DF+FC=2 ，

∴DE、DF、CF的長度之和不變化，ED+DF+FC=2

代入整理即可求出b、c．（2）①利用待定系數(shù)法思想求出點C坐標，利用勾股定理的逆定理證明∠ACB=90°，由此即可解決問題；②根據(jù)相似三角形的判定與性質(zhì)，可得 = ， = ，根據(jù)等式的性質(zhì)，可得 + ，再根據(jù)等量代換，可得答案．
【考點精析】關(guān)于本題考查的勾股定理的概念和相似三角形的判定與性質(zhì)，需要了解直角三角形兩直角邊a、b的平方和等于斜邊c的平方,即;a2+b2=c2；相似三角形的一切對應(yīng)線段(對應(yīng)高、對應(yīng)中線、對應(yīng)角平分線、外接圓半徑、內(nèi)切圓半徑等）的比等于相似比；相似三角形周長的比等于相似比；相似三角形面積的比等于相似比的平方才能得出正確答案．