已知Rt△ABC中,∠ACB=90°,CA=CB,有一個(gè)圓心角為45°,半徑長等于CA的扇形CEF繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn),直線CE、CF分別與直線AB交于點(diǎn)M、N.

(1)如圖①,當(dāng)AM=BN時(shí),將△ACM沿CM折疊,點(diǎn)A落在弧EF的中點(diǎn)P處,再將△BCN沿CN折疊,點(diǎn)B也恰好落在點(diǎn)P處,此時(shí),PM=AM,PN=BN,△PMN的形狀是________.線段AM、BN、MN之間的數(shù)量關(guān)系是________);

(2)如圖②,當(dāng)扇形CEF繞點(diǎn)C在∠ACB內(nèi)部旋轉(zhuǎn)時(shí),線段MN、AM、BN之間的數(shù)量關(guān)系是________,試證明你的猜想;

(3)當(dāng)扇形CEF繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)至圖③的位置時(shí),線段MN、AM、BN之間的數(shù)量關(guān)系是________.(不要求證明)

答案:
解析:

  解:(1)根據(jù)折疊的性質(zhì)知:

  △CAM≌△CPM,△CNB≌△CNP;

  ∴AM=PM,∠A=∠CPM,PN=NB,∠B=∠CPN.

  ∴∠MPN=∠A+∠B=90°,PM=PN=AM=BN.

  故△PMN是等腰直角三角形,AM2+BN2=MN2(或AM=BN=MN).

  (2)AM2+BN2=MN2;

  將△ACM沿CM折疊,點(diǎn)A落在弧EF上的D點(diǎn),得△DCM,連結(jié)DN,則△ACM≌△DCM,

  ∴CD=CA,DM=AM,∠DCM=∠ACM.

  ∵∠ACE+∠FCB=∠ECF=∠ECD+∠DCF,

  又∵∠ACE=∠ECD,

  ∴∠FCB=∠DCF.

  在△DCN和△BCN中,

  CN=CN,∠DCN=∠BCN,CD=BC,

  ∴△DCN≌△BCN.

  ∴DN=BN.

  而∠MDC=∠A=45°,∠CDN=∠B=45°,

  ∴∠MDN=90°,

  ∴DM2+DN2=MN2,

  故AM2+BN2=MN2

  (3)AM2+BN2=MN2;解法同(2).


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精英家教網(wǎng)如圖,已知Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=4,BC=3,以AB邊所在的直線為軸,將△ABC旋轉(zhuǎn)一周,則所得幾何體的表面積是( 。
A、
168
5
π
B、24π
C、
84
5
π
D、12π

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22、如圖所示,已知Rt△ABC中,AB=AC,BD平分∠ABC,CE⊥BD交BD延長線于E,BA、CE延長線相交于F點(diǎn).
求證:(1)△BCF是等腰三角形;(2)BD=2CE.

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25、已知Rt△ABC中,∠ACB=90°,AB=5,兩直角邊AC、BC的長是關(guān)于x的方程x2-(m+5)x+6m=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根.求m的值及AC、BC的長(BC>AC).

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10、如圖,已知Rt△ABC中,∠C=90°∠A=36°,以C為圓心,CB為半徑的圓交AB于P,則弧BP的度數(shù)是
72
°.

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已知Rt△ABC中,∠ACB=90°,CA=CB,點(diǎn)D在BC的延長線上,點(diǎn)E在AC上,且CD=CE,延長BE交AD于點(diǎn)F,求證:BF⊥AD.

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