Question

如圖，四邊形ABCD、DEFG都是正方形，連接AE、CG，AE與CG相交于點(diǎn)M，CG與AD相交于點(diǎn)N．   
（1）求證：AE=CG；   
（2）若CD=4，CN=5，求AM的長(zhǎng)．

Answer 1

分析：（1）先證明∠ADE=∠CDG，再利用邊角邊定理即可證明△ADE與△CDG全等，再根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等即可證明；
（2）根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)角相等可以得到∠DAE=∠DCG，從而證出△AMN是直角三角形，利用勾股定理求出DN的長(zhǎng)度，再求出AN，然后再利用相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例列式即可求出AM的長(zhǎng)．

解答：（1）證明：∵∠ADC=∠GDE=90°，
∴∠ADC+∠ADG=∠GDE+∠ADG，
即∠ADE=∠CDG，
在△ADE與△CDG中，

AD=CD ∠ADE=∠CDG DE=DG

，
∴△ADE≌△CDG（SAS），
∴AE=CG；

（2）解：在Rt△CDN中，CD=4，CN=5，
由勾股定理得，DN=

CN2-CD2

=

52-42

=3，
∴AN=4-3=1，
∵△ADE≌△CDG（已證），
∴∠DAE=∠DCG，
∵∠DCG+∠CND=180°-90°=90°，
∴∠DAE+∠CND=90°，
∴△AMN是直角三角形，
在△CDN與△AMN中，

∠DAE=∠DCG ∠CND=∠ANM(對(duì)頂角相等)

，
∴△CDN∽△AMN，
∴

AM

CD

=

AN

CN

，
即

AM

4

=

1

5

，
解得AM=

4

5

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，正方形的每條邊都相等，四個(gè)角都是直角的性質(zhì)，勾股定理，相似三角形的判定與性質(zhì)，綜合性較強(qiáng)，要認(rèn)真分析圖形，從條件與結(jié)論的聯(lián)系入手全面考慮．