Question

【題目】已知拋物線（m為常數(shù)，﹣1≤m≤4）．A（﹣m﹣1，），B（，），C（﹣m，）是該拋物線上不同的三點，現(xiàn)將拋物線的對稱軸繞坐標(biāo)原點O逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到直線a，過拋物線頂點P作PH⊥a于H．

（1）用含m的代數(shù)式表示拋物線的頂點坐標(biāo)；

（2）若無論m取何值，拋物線與直線y=x﹣km（k為常數(shù)）有且僅有一個公共點，求k的值；

（3）當(dāng)1＜PH≤6時，試比較，，之間的大小．

Answer 1

【答案】（1）頂點坐標(biāo)（，）；（2）k=3；（3）﹣1≤m＜或＜m≤時，有，＜m＜時，有．

【解析】

試題分析：（1）根據(jù)頂點坐標(biāo)公式即可解決問題．

（2）列方程組根據(jù)△=0解決問題．

（3）首先證明，再根據(jù)點B的位置，分類討論，①令＜﹣m﹣1，求出m的范圍即可判斷，②令=﹣m﹣1，則A與B重合，此情形不合題意，舍棄．

③令＞﹣m﹣1，求出m的范圍即可判斷，④令≤＜﹣m，求出m的范圍即可判斷，⑤令=﹣m，B，C重合，不合題意舍棄．⑥令＞﹣m，求出m的范圍即可判斷．

試題解析：（1）∵=，=，∴頂點坐標(biāo)（，）．

（2）由，消去y得，∵拋物線與x軸有且僅有一個公共點，∴△=0，即（k﹣3）m=0，∵無論m取何值，方程總是成立，∴k﹣3=0，∴k=3；

（3）PH==，∵1＜PH≤6，∴當(dāng)＞0時，有1＜≤6，又﹣1≤m≤4，∴＜m≤，當(dāng)＜0時，1＜≤6，又∵﹣1≤m≤4，∴﹣1≤m≤，∴﹣1≤m＜或＜m≤，∵A（﹣m﹣1，）在拋物線上，∴=﹣4m，∵C（﹣m，）在拋物線上，∴=﹣4m，∴；

①令＜﹣m﹣1，則有m＜，結(jié)合﹣1≤m≤，∴﹣1≤m＜，此時，在對稱軸的左側(cè)y隨x的增大而減小，如圖1，∴，即當(dāng)﹣1≤m＜時，有．

②令=﹣m﹣1，則A與B重合，此情形不合題意，舍棄．

③令＞﹣m﹣1，且≤時，有＜m≤，結(jié)合﹣1≤m＜，∴＜m≤，此時，在對稱軸的左側(cè)，y隨x的增大而減小，如圖2，∴，即當(dāng)＜m≤時，有；

④令≤＜﹣m，有≤m＜0，結(jié)合﹣1≤m＜，∴≤m＜，此時，在對稱軸的右側(cè)y隨x的增大而增大，如圖3，∴．

⑤令=﹣m，B，C重合，不合題意舍棄．

⑥令＞﹣m，有m＞0，結(jié)合＜m≤，∴＜m≤，此時，在對稱軸的右側(cè)，y隨x的增大而增大，如圖4，∴，即當(dāng)＜m≤時，有；

綜上所述，﹣1≤m＜或＜m≤時，有，＜m＜時，有．