如圖,直線AB交x軸正半軸于點A(a,0),交y軸正半軸于點B(0,b),且a、b滿足 。

(1)求A、B兩點的坐標;

(2)D為OA的中點,連接BD,過點O作OE⊥ BD于 F,交AB于E,求證∠BDO=∠EDA;

(3)如圖,P為x軸上A點右側任意一點,以BP為邊作等腰Rt△PBM,其中PB=PM,直線MA交y軸于點Q,當點P在x軸上運動時,線段OQ的長是否發(fā)生變化?若不變,求其值;若變化,求線段OQ的取值范圍.

(1)A(4,0),B(0,4);(2)證明見解析;(3)無論P點怎么動OQ的長不變.

【解析】

試題分析:①首先根據(jù)已知條件和非負數(shù)的性質(zhì)得到關于a、b的方程,解方程組即可求出a,b的值,也就能寫出A,B的坐標;

②作出∠AOB的平分線,通過證△BOG≌△OAE得到其對應角相等解決問題;

③過M作x軸的垂線,通過證明△PBO≌△MPN得出MN=AN,轉化到等腰直角三角形中去就很好解決了.

試題解析:①∵

∴a=4,b=4,

∴A(4,0),B(0,4);

(2)證:作∠AOB的角平分線,交BD于G,

∴∠BOG=∠OAE=45°,OB=OA,

∠OBG=∠AOE=90°-∠BOF,

∴△BOG≌△OAE,

∴OG=AE.

∵∠GOD=∠EAD=45°,OD=AD,

∴△GOD≌△EDA.

∴∠GDO=∠ADE.

(3)過M作MN⊥x軸,垂足為N.

∵∠BPM=90°,

∴∠BPO+∠MPN=90°.

∵∠AOB=∠MNP=90°,

∴∠BPO=∠PMN,∠PBO=∠MPN.

∵BP=MP,

∴△PBO≌△MPN,

MN=OP,PN=AO=BO,

OP=OA+AP=PN+AP=AN,

∴MN=AN,∠MAN=45°.

∵∠BAO=45°,

∴∠BAO+∠OAQ=90°

∴△BAQ是等腰直角三角形.

∴OB=OQ=4.

∴無論P點怎么動OQ的長不變.

考點:1.全等三角形的判定與性質(zhì);2.非負數(shù)的性質(zhì):絕對值;3.非負數(shù)的性質(zhì):算術平方根.

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