Question

如圖，已知雙曲線y=

k

x

經(jīng)過點(diǎn)D（6，1），點(diǎn)C是雙曲線第三象限上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)C作CA⊥x軸，過點(diǎn)D作DB⊥y軸，垂足分別為A，B，連接AB，BC．
（1）求雙曲線的解析式；
（2）當(dāng)△BCD的面積為12時(shí)，求直線CD的解析式；
（3）在（2）的條件下，若直線CD與y軸交于點(diǎn)E，猜想四邊形ACEB的形狀，并說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問題

專題：

分析：（1）把點(diǎn)D的坐標(biāo)代入雙曲線解析式，進(jìn)行計(jì)算即可得解；
（2）先根據(jù)點(diǎn)D的坐標(biāo)求出BD的長度，再根據(jù)三角形的面積公式求出點(diǎn)C到BD的距離，然后求出點(diǎn)C的縱坐標(biāo)，再代入反比例函數(shù)解析式求出點(diǎn)C的坐標(biāo)，然后利用待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式解答；
（3）根據(jù)題意求出點(diǎn)A、B的坐標(biāo)，然后利用待定系數(shù)法求出直線AB的解析式，可知與直線CD的解析式k值相等，所以AB、CD平行．

解答：解：（1）∵雙曲線y=

k

x

經(jīng)過點(diǎn)D（6，1），
∴

k

6

=1，
解得k=6；

（2）設(shè)點(diǎn)C到BD的距離為h，
∵點(diǎn)D的坐標(biāo)為（6，1），DB⊥y軸，
∴BD=6，
∴S_△BCD=

1

2

×6•h=12，
解得h=4，
∵點(diǎn)C是雙曲線第三象限上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)D的縱坐標(biāo)為1，
∴點(diǎn)C的縱坐標(biāo)為1-4=-3，
∴

6

x

=-3，
解得x=-2，
∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（-2，-3），
設(shè)直線CD的解析式為y=kx+b，
則

-2k+b=-3 6k+b=1

，
解得

k= 1 2 b=2

，
所以，直線CD的解析式為y=

1

2

x-2；

（3）由

y= 6 x y= 1 2 x-2

，
解得

x1=-2 y1=-3

  

x2=6 y2=1

，
∴C點(diǎn)的坐標(biāo)（-2，-3），
∴A點(diǎn)的坐標(biāo)為（-2，0），B點(diǎn)的坐標(biāo)為（0，1）
∴直線AB的解析式為y=

1

2

x+1
∵AB、CD的解析式k都等于

1

2

，
∴AB與CD的位置關(guān)系是AB∥CD．
∵AC⊥x軸，
∴AC∥EB，
∴四邊形ACEB為平行四邊形．

點(diǎn)評(píng)：本題是對(duì)反比例函數(shù)的綜合考查，主要利用了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，三角形的面積的求解，待定系數(shù)法是求函數(shù)解析式最常用的方法，一定要熟練掌握并靈活運(yùn)用